þÿ + + +
t i t l e = " E l e m e n t i d i P r o b a b i l i t á e S t a t i s t i c a "
a u t h o r = [ " D a n i e l B i a s i o t t o " ]
t a g s = [ " u n i v e r s i t y " ]
d r a f t = f a l s e
+ + +
- T e a c h e r : R o b e r t a S i r o v i c h
- r - p r o j e c t . o r g
- E d i t o r : r - s t u d i o
- E s a m e :
- Q u i z M o o d l e
- E s e r c i z i P r o b a b i l i t a '
- E s e r c i z i S t a t i s t i c a ( r )
- L i b r i :
- B e r t s e k a s i - T s i t s i k l i s ~ I n t r o d u c t i o n t o P r o b a b i l i t y
- o t t i m o t e s t o d i t e o r i a ( M I T )
- R o s s ~ I n t r o d u c t i o n t o P r o b a b i l i t y a n d S t a t i s t i c s f o r E n g i n e e r s a n d S c i e n t i s t s
- f o n t e d i e s e r c i z i
- V e r z a n i ~ U s i n g R f o r I n t r o d u c t o r y S t a t i s t i c s
- e s e r c i z i d i s t a t i s t i c a
- E s e r c i z i a g g i u n t i v i P e a r s o n
- s e c o n d o M o o d l e
- P r o g r a m m a
- P r o b a b i l i t à :
- S p a z i o c a m p i o n a r i o e p r o b a b i l i t à , i n s i e m i , m o d e l l i p r o b a b i l i s t i c i , p r o b a b i l i t à c o n d i z i o n a t a , t e o r e m a d e l l e p r o b a b i l i t à t o t a l i , f o r m u l a d i B a y e s , i n d i p e n d e n z a .
- V a r i a b i l i a l e a t o r i e d i s c r e t e , f u n z i o n e d i d e n s i t à d i s c r e t a , f u n z i o n i d i v a r i a b i l i a l e a t o r i e , a t t e s a , v a r i a n z a .
- D e n s i t à d i s c r e t a c o n g i u n t a d i v a r i a b i l i m u l t i d i m e n s i o n a l i , c o n d i z i o n a m e n t o e i n d i p e n d e n z a , i n d i p e n d e n z a c o n d i z i o n a l e .
- V a r i a b i l i a l e a t o r i e c o n t i n u e , f u n z i o n e d i d e n s i t à , f u n z i o n e d i d i s t r i b u z i o n e c u m u l a t a .
- D e n s i t à d i p r o b a b i l i t à v a r i a b i l i a l e a t o r i e m u l t i d i m e n s i o n a l i .
- C o v a r i a n z a e c o r r e l a z i o n e .
- L e g g e d e i g r a n d i n u m e r i e t e o r e m a d e l l i m i t e c e n t r a l e .
- S t a t i s t i c a :
- I n t r o d u z i o n e a R .
- D a t i u n i v a r i a t i , t i p i d i d a t i , i n d i c i r i a s s u n t i v i d i p o s i z i o n e , d i v a r i a b i l i t à e d i f o r m a .
- R a p p r e s e n t a z i o n i g r a f i c h e , i s t o g r a m m i , b o x p l o t e s c a t t e r p l o t .
- C o n f r o n t i q u a l i t a t i v i , d a t i a p p a i a t i .
- D a t i u n i v a r i a t i c a t e g o r i a l i e t a b e l l e .
- I n f e r e n z a s t a t i s t i c a : s t i m a p u n t u a l e , i n t e r v a l l i d i c o n f i d e n z a ( p r o p o r z i o n i , m e d i e , v a r i a n z e , d i f f e r e n z e d i m e d i e ) .
- T e s t d i i p o t e s i ( p r o p o r z i o n i , m e d i e ) .
# # P r o b a b i l i t á { # p r o b a b i l i t á }
# # # d e s c r i v e e v e n t i s o g g e t t i a c a s u a l i t á { # d e s c r i v e - e v e n t i - s o g g e t t i - a - c a s u a l i t á }
- n a s c e n e l l ' a m b i t o d e l g i o c o d ' a z z a r d o ~ s e c o n d a m e t á d e l 8 0 0
# # # # e s p e r i m e n t i i l c u i e s i t o n o n e ' p r e v e d i b i l e a p r i o r i { # e s p e r i m e n t i - i l - c u i - e s i t o - n o n - e - p r e v e d i b i l e - a - p r i o r i }
# # # # c a s u a l i t a ' l e g a t a a l l a c o m p l e s s i t a ' { # c a s u a l i t a - l e g a t a - a l l a - c o m p l e s s i t a }
- s a r e b b e d e s c r i v i b i l e c o n s t r u m e n t i c l a s s i c i m a c i o ' s o l o c o n s i s t e m i < s p a n c l a s s = " u n d e r l i n e " > t r o p p o < / s p a n > c o m p l e s s i , c h e n o n s a p p i a m o r i s o l v e r e
# # # I n s i e m e { # i n s i e m e }
# # # # c o l l e z i o n e d i o g g e t t i ( e l e m e n t i ) { # c o l l e z i o n e - d i - o g g e t t i - - e l e m e n t i }
# # # # N a t u r a l i - c o n t i e n e u n n u m e r o n d i e l e m e n t i ( f i n i t o o i n f i n i t o ) { # n a t u r a l i - c o n t i e n e - u n - n u m e r o - n - d i - e l e m e n t i - - f i n i t o - o - i n f i n i t o }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- s o n o t u t t i e l e n c a b i l i
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- i n f i n i t o n u m e r a b i l e
# # # # R e a l i { # r e a l i }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- i n f i n i t o n o n n u m e r a b i l e | p i u ' c h e n u m e r a b i l e
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- d e s c r i t t i c o n u n a p r o p r i e t a '
# # # # U s o i n P r o b a b i l i t a ' { # u s o - i n - p r o b a b i l i t a }
g l i i n s i e m i s o n o u s a t i p e r d e s c r i v e r e g l i e s i t i p o s s i b i l i d e g l i e s p e r i m e n t i p r o b a b i l i s t i c i
# # # # S e t u t t i g l i e l e m e n t i d i A s o n o m e m b r i d i B { # s e - t u t t i - g l i - e l e m e n t i - d i - a - s o n o - m e m b r i - d i - b }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- A e ' c o n t e n u t o i n B
# # # # O m e g a { # o m e g a }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- i n s i e m e d i t u t t i i p o s s i b i l i e s i t i
# # # # P a r t i z i o n i A i d i S { # p a r t i z i o n i - a i - d i - s }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- i n s i e m i c h e c o p r o n o S
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- i n s i e m i d i s g i u n t i a d u e a d u e
# # # # L e g g i d i d e M o r g a n { # l e g g i - d i - d e - m o r g a n }
# # # P r o b a b i l i t á d i E v e n t i { # p r o b a b i l i t á - d i - e v e n t i }
# # # # M o d e l l o p r o b a b i l i s t i c o { # m o d e l l o - p r o b a b i l i s t i c o }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- d e s c r i z i o n e m a t e m a t i c a d e l
- e s p e r i m e n t o p r o b a b i l i s t i c o c h e s t i a m o a n a l i z z a n d o
- s p a z i o c a m p i o n a r i o
- l e g g e d i p r o b a b i l i t a '
- a d o g n i e s i t o ( s o t t o i n s i e m e d i O m e g a ) a s s e g n a u n n u m e r o p o s i t i v o d e t t o p r o b a b i l i t a ' d i t a l e e v e n t o
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- d e f L e g g e d i P r o b a b i l i t a ' P
I n s i e m e d ' a r r i v o [ 0 , 1 ]
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- A s s i o m i
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- P o s i t i v i t a '
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- M i s u r a F i n i t a
P r o b a b i l i t a ' d e l l o s p a z i o c a m p i o n a r i o v a l e 1
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- A d d i t i v i t a '
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- P r o p r i e t a ' d e l l a P d e d o t t e d a g l i a s s i o m i
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- M o n o t o n i a
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- P d i U n i o n e d i 2 i n s
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- P d i u n i o n e & l t ; = P d e g l i i n s i e m i
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- P d i U n i o n e d i 3 i n s
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- M o d e l l i C o n t i n u i
- P r o b a b i l i t a ' c o m e A r e a
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- E s e m p i d i P - L e g g e U n i f o r m e D i s c r e t a
- F r e q u e n z a R e l a t i v a d i o c c o r r e n z a
- P c o m e a r e a
- m o n e t a e q u a
- n o n t r u c c a t a : l e d u e f a c c e s o n o e q u i p o s s i b i l i
- m o n e t a e q u a l a n c i a t a 3 v o l t e
- e s c a n o d u e t e s t e
- d u e v o l t e d a d o a 4 f a c c e e q u o
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- P r o b a b i l i t a ' C o n d i z i o n a t a
M i s u r a c h e p e r m e t t e d i c a l c o l a r e p r o b a b i l i t a ' i n c o n d i z i o n i d i i n f o r m a z i o n e p a r z i a l e
- P r e n d e i n c o n s i d e r a z i o n e i n f o r m a z i o n i
\ \ ( P ( A | B ) = \ f r a c { P ( A \ c a p B ) } { P ( B ) } \ \ ) o e q u i v a l e n t e m e n t e \ \ ( P ( A \ c a p B ) = P ( A | B ) \ c d o t P ( B ) \ \ )
\ \ ( P ( A \ _ 1 \ c u p A \ _ 2 | B ) = P ( A \ _ 1 | B ) + P ( A \ _ 2 | B ) - P ( A \ _ 1 \ c a p A \ _ 2 | B ) \ \ )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- r e g o l a d e l l a m o l t i p l i c a z i o n e
P e r e v e n t i i n d i p e n d e n t i
\ b e g i n { e q u a t i o n \ }
\ b e g i n { s p l i t }
P ( A \ _ 1 \ c a p A \ _ 2 \ c a p . . . \ c a p A \ _ n ) = & P ( A \ _ n | A \ _ 1 \ c a p A \ _ 2 \ c a p . . . \ c a p A \ _ { n - 1 } ) \ c d o t \ \ \ \
& P ( A \ _ { n - 1 } | A \ _ 1 \ c a p A \ _ 2 \ c a p . . . \ c a p A \ _ { n - 2 } ) \ c d o t \ \ \ \
& . . . \ \ \ \
& P ( A \ _ 2 | A \ _ 1 ) \ c d o t P ( A \ _ 1 )
\ e n d { s p l i t }
\ e n d { e q u a t i o n \ }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- F o r m u l a d e l l e p r o b a b i l i t a ' t o t a l i
I n c a s o d i \ \ ( n \ \ ) p a r t i z i o n i d i \ \ ( \ O m e g a \ \ ) d e t t e \ \ ( A \ _ i \ \ )
\ b e g i n { e q u a t i o n \ }
\ b e g i n { a l i g n }
P ( B ) = & P ( B | A \ _ 1 ) \ c d o t P ( A \ _ 1 ) + \ \ \ \
& P ( B | A \ _ 2 ) \ c d o t P ( A \ _ 2 ) + \ \ \ \
& . . . \ \ \ \
& P ( B | A \ _ n ) \ c d o t P ( A \ _ n )
\ e n d { a l i g n }
\ e n d { e q u a t i o n \ }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- F o r m u l a d i B a y e s
I n c a s o d i \ \ ( n \ \ ) p a r t i z i o n i d i \ \ ( \ O m e g a \ \ ) d e t t e \ \ ( A \ _ i \ \ )
\ \ ( P ( A \ _ i | B ) = \ f r a c { P ( B | A \ _ i ) P ( A \ _ i ) } { P ( B ) } \ \ )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- E v e n t i i n d i p e n d e n t i
N B l ' i n d i p e n d e n z a é u n a p r o p r i e t á d e l l e p r o b a b i l i t á , n o n d e g l i e v e n t i : d i p e n d e d a l l e m i s u r e
D u e e v e n t i s o n o i n d i p e n d e n t i s e
\ \ ( P ( A | B ) = P ( A ) \ \ )
A l l o r a :
\ \ ( \ f r a c { P ( A \ c a p B ) } { P ( B ) } = P ( A ) \ \ )
\ \ ( P ( A \ c a p B ) = P ( A ) P ( B ) \ \ )
d e f e q u i v a l e n t e
D u e e v e n t i s o n o i n d i p e n d e n t i s e
\ \ ( P ( A \ c a p B ) = P ( A ) P ( B ) \ \ )
\ \ ( P ( B | A ) P ( A ) / P ( B ) = P ( A ) \ \ ) p e r B a y e s
\ \ ( P ( B | A ) = P ( B ) \ \ )
d e f e q u i v a l e n t e
\ \ ( P ( B | A ) = P ( B ) \ \ )
- c o n c e t t o i n t u i t i v o d i i n d i p e n d e n z a
- d u e d a d i l a n c i a t i s o n o i n d i p e n d e n t i d a l p u n t o d i v i s t a m e c c a n i c i s t i c o
E v e n t i s e n z a i n t e r s e z i o n e n o n n u l l i n o n s o n o m a i i n d i p e n d e n t i
- Q u i n d i A e A c o m p l e m e n t a r e s o n o s e m p r e d i p e n d e n t i
- q u i n d i d a t i A e B i n d i p e n d e n t i q u e s t i s o n o i n d i p e n d e n t i d a i c o m p l e m e n t a r i a l t r u i
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- I n d i p e n d e n z a a d u e a d u e
\ b e g i n { e q u a t i o n \ }
\ b e g i n { a l i g n }
P ( \ \ { ( i , j ) \ \ } ) & = P ( A \ _ i \ c a p B \ _ j ) \ \ \ \
& = P ( A \ _ i ) \ c d o t P ( B \ _ j ) \ \ \ \
& = P ^ 1 ( \ \ { i \ \ } ) \ c d o t P ^ 2 ( \ \ { j \ \ } )
\ e n d { a l i g n }
\ e n d { e q u a t i o n \ }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- I n d i p e n d e n z a C o n d i z i o n a t a
\ \ ( A \ \ ) e \ \ ( B \ \ ) s o n o i n d i p e n d e n t i c o n d i z i o n a t a m e n t e a \ \ ( C \ \ ) s e :
\ b e g i n { e q u a t i o n \ }
\ b e g i n { a l i g n }
P ( A \ c a p B | C ) = P ( A | C ) \ c d o t P ( B | C )
\ e n d { a l i g n }
\ e n d { e q u a t i o n \ }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- M o l t i p l i c a z i o n e C a r t e s i a n a
L a \ \ ( P \ \ ) d i d u p l e o n - u p l e é
\ \ ( P = P ^ 1 \ P ^ 2 \ . . . \ P ^ n \ \ )
# # # V a r i a b i l i A l e a t o r i e { # v a r i a b i l i - a l e a t o r i e }
I n c a s i i n c u i l ' e s p e r i m e n t o é n u m e r i c o s e r v o n o a l t r i s t r u m e n t i r i s p e t t o a q u e l l i u s a t i f i n o a d o r a
U n a V a r i a b i l e A l e a t o r i a é u n a f u n z i o n e d a \ \ ( \ O m e g a \ \ ) i n \ \ ( \ m a t h b b { R } \ \ )
- \ \ ( X , Y , Z \ \ ) v a r i a b i l i a l e a t o r i e
- \ \ ( x , y , z \ \ ) p u n t i d i \ \ ( \ m a t h b b { R } \ \ )
D i p e n d e n t e m e n t e d a l l ' i m m a g i n e d e l l a v a r i a b i l e a l e a t o r i a q u e s t a s a r á d i s c r e t a o c o n t i n u a
# # # # F u n z i o n e d e l l a m a s s a d i P r o b a b i l i t á P M F { # f u n z i o n e - d e l l a - m a s s a - d i - p r o b a b i l i t á - p m f }
a k a P r o b a b i l i t y M a s s F u n c t i o n
P r o b a b i l i t á c h e u n a v a r i a b i l i a l e a t o r i a \ \ ( X \ \ ) v a l g a e s a t t a m e n t e \ \ ( x \ \ ) , v a l o r e a r b i t r a r i o
\ \ ( p \ _ X ( x \ _ i ) = P ( X = x \ _ i ) \ \ )
- i l g r a f i c o d e l l a f u n z i o n e m o s t r a l a n a t u r a d i s c r e t a o c o n t i n u a d e l l a v a r i a b i l e \ \ ( X \ \ )
D a t o c h e l e v a r i a b i l i a l e a t o r i e s o n o f u n z i o n i :
L e i n t e r s e z i o n i d e l l e c o n t r o i m m a g i n i \ \ ( X \ _ { - 1 } \ \ ) s o n o a d u e a d u e d i s g i u n t e e c o p r o n o t u t t o \ \ ( \ O m e g a \ \ )
\ \ ( \ R i g h t a r r o w \ s u m \ _ { x \ i n I m ( X ) } p \ _ X ( x ) = 1 \ \ )
# # # # F u n z i o n i d i V a r i a b i l i A l e a t o r i e { # f u n z i o n i - d i - v a r i a b i l i - a l e a t o r i e }
d o v e \ \ ( Y = g \ c o m p X \ \ )
\ \ ( P \ _ Y ( y ) = \ s u m \ _ { x \ i n g ^ - 1 ( \ \ { y \ \ } ) } P \ _ X ( x ) \ \ )
# # # # V a r i a b i l i A l e a t o r i e D i s c r e t e { # v a r i a b i l i - a l e a t o r i e - d i s c r e t e }
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- B e r n u l l i a n a
S i n g o l a p r o v a c o n r i s u l t a t o d i c o t o m i c o
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- B i n o m i a l e
\ \ ( p \ _ X ( k ) = \ b i n o m { n } { k } p ^ k ( 1 - p ) ^ { n - k } \ \ ) c o n \ \ ( k \ i n I m ( X ) = \ \ { 1 , 2 , . . . \ \ } \ \ )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- G e o m e t r i c a
\ \ ( p \ _ X ( k ) = ( 1 - p ) ^ { 1 - p } p \ \ ) c o n \ \ ( k \ i n I m ( X ) = \ \ { 1 , 2 , . . . \ \ } \ \ )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- P o i s s o n
\ \ ( X \ s i m \ t e x t { P o i s s o n } ( \ l a m b d a ) \ \ ) c o n \ \ ( \ l a m b d a \ \ ) i n t e n s i t á
\ \ ( p \ _ X ( k ) = \ f r a c { \ l a m b d a ^ k e ^ { - \ l a m b d a } } { k ! } \ \ )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- I p e r g e o m e t r i c a
\ \ ( p \ _ X ( k ) = \ f r a c { \ b i n o m { C } { k } \ b i n o m { N - C } { n - k } } { \ b i n o m { N } { n } } \ \ )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- M e d i a
I n f o r m a z i o n i r i a s s u n t i v e , p i ú s e m p l i c i a n c h e s e p a r z i a l i
\ \ ( E ( X ) = \ s u m \ _ { x \ i n I m ( X ) } x p \ _ X ( x ) \ \ )
- m e d i a p e s a t a s u l l e \ \ ( p \ _ X \ \ ) d e l l e s i n g o l e \ \ ( x \ \ )
Q u e s t a h a i l s i g n i f i c a t o d i \ \ ( \ l a m b d a \ \ ) n e l l a P o i s s o n
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- M o m e n t o
d i o r d i n e \ \ ( k \ \ )
\ \ ( m \ _ k = E ( X ^ k ) = \ s u m \ _ { x \ i n I m ( X ) } x ^ 2 p \ _ X ( x ) \ \ )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- V a r i a n z a
A n c h e d e t t o s c a r t o q u a d r a t i c o m e d i o
\ \ ( V a r ( X ) = E ( [ X - E ( X ) ] ^ 2 ) \ \ )
\ \ ( V a r ( a X + b ) = a ^ 2 V a r ( X ) \ \ )
- q u a d r a t i c a n e l l e c o s t a n t e m o l t i p l i c a t i v e
- i n v a r i a n t e p e r t r a s l a z i o n i
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- D e v i a z i o n e S t a n d a r d
R a d i c e d e l l a V a r i a n z a
# # # # V a r i a b i l i A l e a t o r i e C o m p o s t e { # v a r i a b i l i - a l e a t o r i e - c o m p o s t e }
I n d i p e n d e n z a
\ \ ( p \ _ { X , Y } ( x , y ) = p \ _ X ( x ) p \ _ Y ( y ) \ \ ) p e r g e n e r i c i \ \ ( x \ \ ) e \ \ ( y \ \ )
# # # # V a r i a b i l i A l e a t o r i e C o n t i n u e { # v a r i a b i l i - a l e a t o r i e - c o n t i n u e }
[ A p p u n t i P r o f ] ( / h o m e / d a n / D o c u m e n t s / U N I / I I / E P S / e p s A - 0 4 d i c 2 0 . p d f )
\ \ ( I m ( X ) \ \ ) d i n a t u r a c o n t i n u a
- n o n p o s s i a m o u s a r e l a \ \ ( P M F \ \ )
- i n q u a n t o l ' i m m a g i n e n o n é n u m e r a b i l e , n o n p o s s i a m o a s s o c i a r e a d o g n i p u n t o u n v a l o r e
D a t o l ' i n t e r v a l l o \ \ ( A \ \ ) a b b i a m o q u i n d i u n a f u n z i o n e \ \ ( f \ _ x : \ m a t h b b { R } \ t o \ m a t h b b { R } \ \ ) n o n n e g a t i v a t . c
\ \ ( \ f o r a l l A \ s u b s e t \ m a t h b b { R } \ \ ) :
- \ \ ( \ m a t h b b { P } ( X \ i n A ) = \ i n t \ _ A f \ _ { X } ( t ) d t \ \ )
- i n c l u d e n d o o m e n o g l i e s t r e m i l a \ \ ( P \ \ ) n o n c a m b i a
- \ \ ( \ m a t h b b { P } ( X \ i n A ) = \ m a t h b b { P } ( X = a ) = \ i n t \ _ a ^ a f \ _ X ( t ) d t = 0 \ \ )
Q u e s t a é d e t t a \ \ ( P D F \ \ ) P r o b a b i l i t y D e n s i t y F u n c t i o n
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- P r o p r i e t á
- \ \ ( \ i n t \ _ \ m a t h b b { R } f \ _ X ( t ) d t = P ( \ O m e g a ) = 1 \ \ )
- \ \ ( \ f o r a l l x \ i n \ m a t h b b { R } , f \ _ X ( x ) \ g e 0 \ \ )
- \ \ ( f \ _ X ( x ) \ \ ) n o n é u n a p r o b a b i l i t á
- p u ó e s s e r e u n v a l o r e q u a l u n q u e , a n c h e m a g g i o r e d i 1
- \ \ ( \ i n t \ _ x ^ { x + \ d e l t a } f \ _ X ( t ) d t = f \ _ X ( x ) \ c d o t \ d e l t a \ \ )
- s e \ \ ( \ d e l t a \ \ ) s u f f i c i e n t e m e n t e p i c c o l o
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- U n i f o r m e
\ \ ( X \ \ ) h a d e n s i t á c o s t a n t e n e l l ' i n t e r v a l l o
\ \ ( f \ _ X ( x ) = \ f r a c { 1 } { b - a } \ \ ) n e l l ' i n t e r v a l l o
\ \ ( = 0 \ \ ) a l t r o v e
C a s i n o t i
\ \ ( U n i f [ a , b ] \ \ )
- m e d i a
\ \ ( \ f r a c { a + b } { 2 } \ \ )
- v a r i a n z a
\ \ ( \ f r a c { ( b - a ) ^ { 2 } } { 1 2 } \ \ )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- A t t e s a
\ \ ( E ( x ) = \ i n t ^ { + \ i n f } \ _ { - \ i n f } x \ c d o t f \ _ { x } d x \ \ )
- c o r r i s p o n d e ( é l a s t e s s a c o s a ) a l l a m e d i a n e l l e V A D i s c r e t e
- t e o r i a p i ú a v a n z a t a
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- E s p o n e n z i a l e
\ \ ( \ m a t h b b { P } ( X \ i n A ) , A \ s u b s e t ( - \ i n f , 0 ) \ \ ) é n u l l a
L a s u a D e n s i t á d e c a d e
\ \ ( f \ _ X ( x ) = \ l a m b d a \ c d o t e ^ { - \ l a m b d a x } \ \ ) s e \ \ ( x \ g e 0 \ \ )
\ \ ( = 0 \ \ ) a l t r o v e
- \ \ ( X \ \ ) p r e n d e s o l o v a l o r i p o s i t i v i
V a l e P r o p r i e t á d i A s s e n z a d e l l a M e m o r i a
- \ \ ( \ m a t h b b { P } ( X > m \ m i d X > n ) = \ m a t h b b { P } ( X > m - n ) \ \ )
- c a m b i a l ' o r i g i n e d e i t e m p i n e l c a l c o l o d e l l a p r o b a b i l i t á d i s o p r a v v i v e n z a
- N B \ \ ( P D F \ \ ) s i m i l e a l l a \ \ ( P M F \ \ ) d e l l a G e o m e t r i c a
- a n c h e i n q u e l l a V a r i a b i l e A l e a t o r i a v a l e l a P r o p r i e t á d i A s s e n z a d e l l a M e m o r i a
C a s i n o t i
\ \ ( E s p o n [ a , b ] \ \ )
- m e d i a
\ \ ( \ f r a c { 1 } { \ l a m b d a } \ \ )
- v a r i a n z a
\ \ ( \ f r a c { 1 } { \ l a m b d a ^ { 2 } } \ \ )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- N o r m a l e o G a u s s i a n a
\ \ ( N ( \ m u , \ s i g m a ^ 2 ) \ \ )
- m e d i a
- v a r i a n z a
\ \ ( f ( x ) = \ f r a c { 1 } { \ s q r t { 2 \ p i \ s i g m a ^ 2 } } \ c d o t e ^ { - \ f r a c { ( x - \ m u ) ^ 2 } { 2 \ s i g m a ^ 2 } \ \ )
N B
- \ \ ( f ( \ m u ) \ \ ) m a s s i m o d e l l a c u r v a e p u n t o m e d i o / a s s e d i s i m m e t r i a
- \ \ ( \ s i g m a ^ 2 \ \ ) g r a n d e \ \ ( \ t o \ \ ) \ \ ( f ( \ m u ) \ \ ) p i c c o l o
- c u r v a b a s s a
- \ \ ( \ s i g m a ^ 2 \ \ ) p i c c o l o \ \ ( \ t o \ \ ) \ \ ( f ( \ m u ) \ \ ) g r a n d e
- c u r v a a l t a
- m a n t e n e n d o s e m p r e l ' a r e a c o s t a n t e = 1
- a l t a \ \ ( \ t o \ \ ) s t r e t t a
- b a s s a \ \ ( \ t o \ \ ) l a r g a
L a c l a s s e d e l l e V A N o r m a l i é c h i u s a r i s p e t t o a t r a s l a z i o n e e d i l a t a z i o n e
\ \ ( N ( 0 , 1 ) \ \ ) é l a n o r m a l e s t a n d a r d
\ \ ( \ \ \ )
# # # F u n z i o n e d i D i s t r i b u z i o n e C u m u l a t a { # f u n z i o n e - d i - d i s t r i b u z i o n e - c u m u l a t a }
C D F *
N o n d i p e n d e d a l l a n a t u r a d e l l e V A
\ \ ( F \ _ x : \ m a t h b b { R } \ t o \ m a t h b b { R } \ \ )
\ \ ( x \ t o F \ _ X ( x ) = P ( X \ l e x ) = P ( X \ i n [ - \ i n f t y , x ] ) \ \ )
# # # # P r o p r i e t á c o m u n i { # p r o p r i e t á - c o m u n i }
N o n h a i m p o r t a n z a l a n a t u r a d e l l e v a r i a b i l i i n q u e s t i o n e
- l a \ \ ( P \ \ ) é c o n t i n u a , s i c o m p o r t a b e n e c o n i l i m i t i
- \ \ ( \ l i m \ _ { x \ t o \ i n f t y } F \ _ X ( x ) = \ l i m \ _ { x \ t o \ i n f t y } P ( X \ l e x ) = 1 = P ( \ O m e g a ) \ \ )
- \ \ ( \ l i m \ _ { x \ t o - \ i n f t y } F \ _ X ( x ) = \ l i m \ _ { x \ t o - \ i n f t y } P ( X \ l e x ) = 0 = P ( \ e m p t y s e t ) \ \ )
- M o n o t o n a C r e s c e n t e
# # # F u n z i o n e Q u a n t i l e { # f u n z i o n e - q u a n t i l e }
I n v e r s a d e l l a F u n z i o n e d i D i s t r i b u z i o n e
# # S t a t i s t i c a { # s t a t i s t i c a }
# # # D a t i { # d a t i }
D a t i u n i v a r i a t i
- C o n s i d e r i a m o u n a v a r i a b i l e a l l a v o l t a
- G e n e r a l m e n t e s i p a r l a d i c a m p i o n a m e n t i
- N o n p o s s o r a g g i u n g e r e t u t t i g l i i n d i v i d u i d e l l a p o p o l a z i o n e ( C h e s a r e b b e i n v e c e u n c e n s i m e n t o )
- M i s u r a r e u n a p a r t e d e l l a p o p o l a z i o n e s c e l t a c a s u a l m e n t e
- E s t r a r r e i n m a n i e r a c a s u a l e e r a p p r e s e n t a t i v a d e l l a p o p o l a z i o n e i n t e r a
I d a t i u n i v a r i a t i n o n s i t r a t t a n o i n r e l a z i o n e a d a l t r e v a r i a b i l i
# # # T i p o l o g i e d i d a t i { # t i p o l o g i e - d i - d a t i }
T a s s o n o m i e
- F a c t o r s
V a r i a b i l i c h e c o d i f i c a n o l ' a p p a r t e n e n z a a d u n g r u p p o
- C h a r a c t e r D a t a
I d e n t i f i c a t i v i
- D i s c r e t e D a t a
N u m e r i c i / Q u a n t i t a t i v i
- C o n t i n u o u s D a t a
N u m e r i c i / Q u a n t i t a t i v i d i n a t u r a c o n t i n u a
N B
L e m a t r i c i s o n o d e f i n i t e c o n
- S o g g e t t i s u l l e R i g h e
- V a r i a b i l i s u l l e C o l o n n e
# # # A n a l i s i d e i D a t i { # a n a l i s i - d e i - d a t i }
# # # # D e s c r i t t i v a { # d e s c r i t t i v a }
U n a p r e - a n a l i s i d e i d a t i p e r p o t e r c a p i r e l a q u a l i t a ' d e i d a t i
- P e r d a t i n u m e r i c i
- I n d i c i
- p o s i z i o n e
- M e d i a c a m p i o n a r i a m e a n ( )
- m e d i a a r i t m e t i c a
- l a m e d i a e ' s e n s i b i l e a i d a t i e s t r e m i , v i e n e s p o s t a t a f a c i l m e n t e d a v a l o r i m o l t o a l t i o m o l t o b a s s i
- M e d i a n a m e d i a n ( )
- l a s c i a m e t a ' d e l l e o s s e r v a z i o n i a l l a s u a d e s t r a e m e t a ' a l l a s u a s i n i s t r a
- l a d i f f e r e n z a t r a m e d i a e m e d i a n a i n d i c a i n c h e d i r e z i o n e s i t r o v a n o i v a l o r i e s t r e m a l i c h e i n f l u e n z a n o m a g g i o r m e n t e l a m e d i a
- P e r c e n t i l i q u a n t i l e ( )
- d i s p e r s i o n e
- V a r i a n z a C a m p i o n a r i a
- l a c u i r a d i c e e ' l a d e v i a z i o n e s t a n d a r d s d ( )
- p e r u n g u e s s c i s i p u ó b a s a r e s u l l a v a r i a b i l e g a u s s i a n a
- \ \ ( ( \ m u + 3 \ s i g m a , \ m u - 3 \ s i g m a ) \ \ ) i n u n a c a m p a n a c o m p r e n d e r á i l 9 9 % d e l l ' a r e a
- z - s c o r e s
- V a l o r i s t a n d a r d i z z a t i
- c o e f f i c i e n t e d i v a r i a z i o n e c v ( )
- & g t ; 1 d i s p e r s o
- & l t ; 1 c o n c e n t r a t i
- = 1
- s k e w n e s s
- I n d i c e d i d i s t o r s i o n e
- m e d i a d e g l i z - s c o r e s a l c u b o
- \ \ ( \ f r a c { 1 } { n } \ s u m z \ _ { i } ^ { 3 } \ \ )
- ~ 0
- i d a t i s o n o s i m m e t r i c i
- & g t ; 0
- a s i m m e t r i a v e r s o d e s t r a ( r i s p e t t o a l l a m e d i a )
- p i u ' v a l o r i | | p i u ' g r a n d i
- a s i m m e t r i a v e r s o s i n i s t r a
- v a r i a b i l i t a '
- f o r m a
- G r a f i c i
- I s t o g r a m m i - h i s t ( )
1 . B i n n i n g d e l l ' a s s e d e l l e \ \ ( x \ \ )
2 . C o n t o d e l l e o s s e r v a z i o n i c h e c a d o n o i n o g n i b i n
3 . R a g g r u p p o i n r e t t a n g o l i c o n a l t e z z a p r o p o r z i o n a l e a l c o n t e g g i o
- q u e s t o p e r c h e ' l ' a r e a e ' u n ' i n d i c a z i o n e d e l l a p r o b a b i l i t a '
- d a n n o u n ' i d e a d e l l a P D F
- B o x P l o t - b o x p l o t ( )
- B o x t r a p r i m o q u a r t i l e e t e r z o
- c o n t i e n e i l 5 0 % d e l l a m a s s a c e n t r a l e
- i n d i c a n e l B o x i l s e c o n d o q u a r t i l e
- w h i s k e r s
- p u n t i c o n s i d e r a t i t r o p p o l o n t a n i d a l b o x
- s i a l l o n t a n a n o i n m a n i e r a a n o m a l a , d i s p e r s i
- o u t l i e r s
- P e r d a t i q u a l i t a t i v i
- r i g u a r d a c a t e g o r i e e f a t t o r i
- G r a f i c o a b a r r e b a r c h a r t ( )
- q u i s o l o l ' a l t e z z a h a u n s i g n i f i c a t o , n o n l ' a r e a
- T o r t a p i e ( )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- B i v a r i a t a
C o n s i d e r a r e < s p a n c l a s s = " u n d e r l i n e " > d u e v a r i a b i l i < / s p a n >
- q u a l i t a t i v a + q u a n t i t a t i v a T o o t h G r o w t h
- c o n s i d e r a r e s e e s i s t o n o d i f f e r e n z e n e l l a d i s t r i b u z i o n e
d e l l a q u a n t i t a t i v a n e i d i v e r s i g r u p p i d e f i n i t i d a l l a
q u a l i t a t i v a
- c o n t r o l l o s e i b o x ( ) s i s o v r a p p o n g o n o
- q u a n t i t a t i v a + q u a n t i t a t i v a f a t
- e s i s t e u n a r e l a z i o n e f u n z i o n a l e ( l i n e a r e )
t r a l e d u e v a r i a b i l i q u a n t i t a t i v e ?
- S c a t t e r p l o t p l o t ( )
- i d e a i n d i c a t i v a
- i n d i c i d i c o r r e l a z i o n e c o r ( )
- C o r r e l a z i o n e d i P e a r s o n s i m i l e a l c o e f f i c i e n t e a n g o l a r e d e l l a r e t t a s u c u i p o s a n o
- \ \ ( \ f r a c { 1 } { n - 1 } \ s u m ( \ f r a c { x \ _ i - x ^ \ _ } { s \ _ x } ) ( \ f r a c { y \ _ i - y } { s \ _ y } ) \ \ )
- o s s e r v a z i o n i d e l l a v a r i a b i l e s o n o s t a n d a r d i z z a t e
- M A v a r i a m o l t o i n b a s e a i v a l o r i o u t l i e r s
- s t e s s i p r o b l e m i d e l l a m e d i a c a m p i o n a r i a
- = 0 n u v o l a < s p a n c l a s s = " u n d e r l i n e " > n o n d i s t r i b u i t a < / s p a n > s u l l a r e t t a
- & g t ; 0 c ' é c o r r e l a z i o n e < s p a n c l a s s = " u n d e r l i n e " > l i n e a r e < / s p a n >
- & l t ; 0 c o r r e l a z i o n e < s p a n c l a s s = " u n d e r l i n e " > l i n e a r e i n v e r s a < / s p a n >
- C o r r e l a z i o n e d i S p e a r m a n
- v a l u t a l a m o n o t o n i a
- c o n t a l e c o p p i e c o n c o r d i e d i s c o r d i
- c o r r e l a z i o n e N O N É c a u s a l i t á
- q u a l i t a t i v a + q u a l i t a t i v a g r a d e s
- s i t a b u l a n o i n
- t a b e l l e a d o p p i a e n t r a t a
- i n d i c i
- T a u d i K e n d a l l
- i n d i c e d i c o n c o r d a n z a
- i f a t t o r i d e v o q u i n d i a v e r e u n o r d i n a m e n t o
# # # # I n f e r e n z i a l e { # i n f e r e n z i a l e }
O I n f e r e n z a P a r a m e t r i c a
C a m p i o n e c a s u a l e d i v a r i a b i l i
\ \ ( ( X \ _ 1 , X \ _ 2 , . . . , X \ _ n ) \ \ )
D a t i
\ \ ( ( x \ _ 1 , x \ _ 2 , . . . , x \ _ n ) \ \ )
- S t a t i s t i c a P a r a m e t r i c a
- i p o t e s i d i c o n o s c e r e l a d i s t r i b u z i o n e m a n o n i p a r a m e t r i d i q u e s t a
- S t i m a t o r i
- M e d i a C a m p i o n a r i a
- \ \ ( \ b a r { X } = \ f r a c { 1 } { n } \ s u m \ _ { i = 1 } X \ _ i \ \ )
- D e v e e s s e r e c a l c o l a b i l e
- n o i n c o g n i t e
- V a r i a n z a C a m p i o n a r i a
- \ \ ( \ d e l t a ^ 2 = \ f r a c { 1 } { n - 1 } \ s u m \ _ { i = 1 } ( X \ _ i - \ b a r { X } ) ^ 2 \ \ )
- L e g g i d e i G r a n d i N u m e r i ( t a g l i a \ \ ( n \ g e 3 0 \ \ ) ) ( f a m i g l i a d i t e o r e m i )
- M o s t r a n o i l l e g a m e t r a g l i s t i m a t o r i e i p a r a m e t r i
- D a t a u n a c o l l e z i o n e d i V . A . i n d i p e n d e n t i e i d e n t i c a m e n t e d i s t r i b u i t e :
- \ \ ( \ l i m \ _ { n \ t o \ i n f t y } \ b a r { X } \ s i m e q \ m a t h b b { E } ( X \ _ 1 ) \ \ )
- N B \ \ ( E ( X \ _ 1 ) \ \ ) é i n f u n z i o n e d e i p a r a m e t r i
- \ \ ( \ l i m \ _ { n \ t o \ i n f t y } \ d e l t a ^ 2 = V a r ( X \ _ 1 ) \ \ )
- U n T e o r e m a d e l L i m i t e C e n t r a l e
- D a t a u n a c o l l e z i o n e d i V . A . i n d i p e n d e n t i e i d e n t i c a m e n t e d i s t r i b u i t e :
- \ \ ( \ l i m \ _ { n \ t o \ i n f t y } \ m a t h b b { P } ( \ f r a c { \ b a r { X } - \ m a t h b b { E } ( X \ _ 1 ) } { \ f r a c { s d ( X 1 ) } { \ s q r t { n } } } \ l e x ) \ s i m e q \ m a t h b b { P } ( Z \ l e x ) \ \ )
- d o v e \ \ ( Z \ s i m N ( 0 , 1 ) \ \ )
- \ \ [ l i m \ _ { n \ t o \ i n f t y } \ b a r { X } \ s i m e q N ( \ m a t h b b { E } ( X \ _ 1 ) , \ f r a c { V a r ( X \ _ 1 ) } { n } ) \ \ ]
- c o n v e r g e n z a v e l o c e , g i á a v a l o r i b a s s i
- N B
- i n u n a n o r m a l e \ \ [ N ( \ m u , \ d e l t a ^ 2 ) \ \ ]
- \ \ [ \ b a r { X } = N ( \ m u , \ f r a c { \ d e l t a ^ 2 } { n } ) \ \ ]
- \ \ [ \ l i m \ _ { n \ t o \ i n f t y } \ m a t h b b { P } ( \ f r a c { \ d e l t a ^ 2 - V a r ( X \ _ 1 ) } { \ f r a c { 1 } { \ s q r t { n } } } \ l e x ) \ s i m e q \ m a t h b b { P } ( Z \ l e x ) \ \ ]
- c o n \ \ [ Z \ s i m N ( 0 , ? ) \ \ ]
- i n u n a n o r m a l e
- \ \ [ \ f r a c { \ d e l t a ^ 2 ( n - 1 ) } { V a r ( X \ _ 1 ) } \ s i m \ c h i ^ 2 ( n - 1 ) \ \ ]
- u n a C h i q u a d r o c o n n - 1 g r a d i d i l i b e r t á
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- I n t e r v a l l i d i C o n f i d e n z a
R e s t i t u i r e d u e c o s e
1 . I n t e r v a l l o \ \ [ [ a , b ] \ \ ]
2 . C o n f i d e n z a \ \ [ 1 - \ a l p h a \ \ ]
- a n c h e p r o b a b i l i t á
> L a c o n f i d e n z a / p r o b a b i l i t á c h e l ' i n t e r v a l l o \ \ [ [ a , b ] \ \ ] c o n t e n g a i l v a l o r e v e r o
> d e l p a r a m e t r o i n s e g u i t o é \ \ [ 1 - \ a l p h a \ \ ]
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- M e d i a
- P r o c e s s o d i D e d u z i o n e
S e v o g l i o u n a m a g g i o r e C o n f i d e n z a l ' i n t e r v a l l o d i c o n f i d e n z a s a r á m a g g i o r e
v e r o m e t o d o d i m i n u i r e l ' i n t e r v a l l o é a u m e n t a r e l a t a g l i a c a m p i o n a r i a
1 . A v e r e u n a q u a n t i t á p i v o t a l e p e r l a M e d i a
- V . A . f u n z i o n e d e l c a m p i o n e c a s u a l e e d e l p a r a m e t r o i n c o g n i t o
- d e v e a v e r e u n a d i s t r i b u z i o n e n o t a e c a l c o l a b i l e
- o v v e r o d e v e a v e r n e t u t t i i p a r a m e t r i
- i n d i c h i a m o \ \ [ \ m u = \ m a t h b b { E } ( X \ _ { 1 } ) \ \ ]
- \ \ [ \ f r a c { \ b a r { X } - \ m u } { \ f r a c { S } { \ s q r t { n } } } \ \ ]
- d o v e \ \ [ S = \ s q r t { \ d e l t a ^ 2 } \ \ ]
- T e o r e m i d i m o s t r a n o c h e :
- \ \ ( t \ \ ) d i S t u d e n t
- m o l t o s i m i l e a d u n a n o r m a l e , m a p i ú p e s a n t e s u l l e c o d e
- a l l ' a u m e n t a r e d e i g r a d i d i l i b e r t á d i v e n t a i n d i s t i n g u i b i l e a d u n a n o r m a l e
- L a Q u a n t i t á P i v o t a l e é s i m i l e a d u n a \ \ ( t \ \ ) d i S t u d e n t c o n \ \ ( ( n - 1 ) \ \ ) g r a d i d i l i b e r t á
- \ \ ( t ( n - 1 ) \ \ )
- s e \ \ ( n \ g e 3 0 \ \ ) s e m p r e , l a t a g l i a d e v e e s s e r e a b b a s t a n z a g r a n d e
2 . \ \ [ \ m a t h b b { P } ( z \ _ 1 \ l e \ f r a c { \ b a r { X } - \ m u } { \ f r a c { S } { \ s q r t { n } } } \ l e z \ _ 2 ) = 1 - \ a l p h a = 0 , 9 5 \ \ ]
- L ' a r e a c o m p r e s a t r a \ \ ( z \ _ 1 \ \ ) e \ \ ( z \ _ 2 \ \ ) d i u n a P D F d e l l a \ \ ( t ( n - 1 ) \ \ ) v a r r á \ \ ( 0 , 9 5 \ \ ) ( l a c o n f i d e n z a )
- s o n o i n f i n i t e l e c o p p i e d i \ \ ( z \ \ ) i n q u a n t o s i s p o s t a n o i n s i e m e
- p e r c o n v e n z i o n e v i e n e s c e l t a l a c o p p i a d i p e r c e n t i l i s i m m e t r i c i
- r i s p e t t o l e a r e e
- l e a r e e a s i n i s t r a d i \ \ ( z \ _ 1 \ \ ) e a d e s t r a d i \ \ ( z \ _ 2 \ \ ) d e v o n o e s s e r e u g u a l i
3 . I n v e r t i r e l a c a t e n a d i d i s u g u a l i a n z e p e r i s o l a r e \ \ ( \ m u \ \ ) ( u n i c a i n c o g n i t a )
- \ \ [ \ m a t h b b { P } ( \ b a r { X } - t 0 , 9 2 5 \ c d o t \ f r a c { S } { \ s q r t { n } } < \ m u < \ b a r { X } - t 0 , 0 2 5 \ c d o t \ f r a c { S } { \ s q r t { n } } ) = 0 , 9 5 \ \ ]
- A q u e s t o p u n t o h o l ' i n t e r v a l l o d i c o n f i d e n z a
I n c a s o c h e l a t a g l i a \ \ ( n < 3 0 \ \ ) l a \ \ ( t ( n - 1 ) \ \ ) n o n é u n a b u o n a a p p r o s s i m a z i o n e
A l l o r a d e v o g u a r d a r e i c a s i p a r t i c o l a r i d e l l e d i s t r i b u z i o n i ( N o r m a l e )
- S e l e v a r i a b i l i s o n o \ \ [ \ s i m N ( \ m u , \ d e l t a ^ 2 ) \ \ ]
- \ \ [ \ f r a c { \ b a r { X } - \ m u } { \ f r a c { S } { \ s q r t { n } } } \ s i m t ( n - 1 ) \ \ ]
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- P r o p o r z i o n i
P a r a m e t r o : P r o p o r z i o n e \ \ ( p \ \ )
S u p p o n i a m o d i c a m p i o n a r e d a u n a V . A . d i B e r n o u l l i ( \ \ ( p \ \ ) )
- i l c a s o p e r t u t t i l e v a r i a b i l i c a t e g o r i a l i ( q u a l i t a t i v e ) c o n s o l o 2 e t i c h e t t e
\ \ ( \ m a t h b b { E } ( X ) = 1 \ c d o t p + 0 \ c d o t ( 1 - p ) = p \ \ )
- N B : \ \ ( \ m a t h b b { E } ( X ) = \ m a t h b b { E } ( \ b a r { X } ) \ \ )
L a p r o p o r z i o n e e ' a n c h e l a m e d i a d e l l a b e r n u l l i
1 . Q u a n t i t á P i v o t a l e
- \ \ [ Q = \ f r a c { \ f r a c { 1 } { n } \ s u m \ _ { i = 1 } ^ { n } X \ _ i - p } { \ s q r t { \ f r a c { p ( 1 - p ) } { n } } } \ \ ]
- m o l t o s i m i l e a l l a q u a n t i t á p i v o t a l e p e r l a m e d i a d i p o p o l a z i o n e
- \ \ ( p ( 1 - p ) = V a r ( X ) \ \ )
- \ \ ( Q \ \ ) c i r c a \ \ ( N ( 0 , 1 ) \ \ ) a \ \ ( \ i n f t y \ \ )
- s e \ \ ( n < 3 0 \ \ ) n o n p o s s i m o f a r e n u l l a , a b b i a m o g i a ' i p o t i z z a t o d i c a m p i o n a r e d a u n a B e r n u l l i
2 . \ \ [ \ m a t h b b { P } ( z \ _ 1 < Q < z \ _ 2 ) = 1 - \ a l p h a = 0 , 9 5 \ \ ]
- d u e p e r c e n t i l i ( s o l i t a m e n t e v e n g o n o p r e s e s i m m e t r i c h e )
- q n o r m ( 0 . 0 2 5 ) e q n o r m ( 0 . 9 7 5 )
3 . E s t r a r r e l ' i n c o g n i t a \ \ ( p \ \ )
- \ \ [ \ m a t h b b { P } ( a < p < b ) = 1 - \ a l p h a \ \ ]
\ \ ( [ a , b ] \ \ ) e ' l ' i n t e r v a l l o d i c o n f i d e n z a c e r c a t o
\ # R
b i n o m . t e s t ( ) - - e s a t t a
p r o p . t e s t ( ) - - a p p r o s s i m a t a
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- D i f f e r e n z a d i M e d i e
- p a z i e n t i n o n t r a t t a t i e t r a t t a t i f a r m a c o l o g i c a m e n t e
- c a m p i o n i i n d i p e n d e n t i
- 1 V a r i a b i l e p r e s s i o n e + 1 v a r i a b i l e q u a l i t a t i v a ( p r e n d e i l f a r m a c o o n o )
- d i f f e r e n z a d i m e d i e
- p e s o d i p a z i e n t i p r i m a e d o p o d i e t a
- c a m p i o n i a p p a i a t i
- 2 V a r i a b i l i ( p e s o p r i m a e p e s o d o p o )
- I n t e r v a l l o d i c o n f i d e n z a d e l l a m e d i a d e l l e d i f f e r e n z e
A b b i a m o \ \ ( Q \ s i m t ( n - 1 ) , n \ t o \ i n f t y \ \ )
\ # R
t . t e s t ( )
< ! - - l i s t - s e p a r a t o r - - >
- T e s t d i I p o t e s i
A l t r o m o d o p e r l e g g e r e l e s t e s s e i n f o r m m a z i o n i r i s p e t t o a g l i i n t e r v a l l i d i c o n f i d e n z a
- I p o t e s i
- o v v e r o p r o p o s i z i o n e c h e r i g u a r d a i p a r a m e t r i
- I p o t e s i n u l l a \ \ ( H \ _ 0 \ \ )
- i p o t e s i i n c u i c r e d o e b a s o i l r a g i o n a m e n t o
- I p o t e s i A l t e r n a t i v a \ \ ( H \ _ 1 \ \ )
- p u ó p o r t a r e a d a b b a n d o n a r e / r i f i u t a r e l ' i p o t e s i n u l l a
- s e i d a t i t i c o s t r i n g o n o
- l e I p o t e s i p o s s o n o e s s e r e
- c o m p o s t e
- \ \ ( \ m u > 1 0 \ \ )
- o n e - s i d e d | u n i l a t e r a l i
- \ \ ( \ m u \ n e q 1 0 \ \ )
- t w o - s i d e d | b i l a t e r a l i
- s e m p l i c i
- \ \ ( \ m u = 1 0 \ \ )
T e s t o l a M e d i a c a m p i o n a r i a r i s p e t t o a l l ' i p o t e s i ( \ \ ( p \ t e x t { - v a l u e } \ \ ) )
- \ \ [ \ m a t h b b { P } ( \ f r a c { 1 } { n } \ s u m \ _ { i = 1 } ^ { n } X \ _ i > \ b a r { x } = \ f r a c { 1 } { n } \ s u m \ _ { i = 1 } ^ { n } x \ _ i ) = p \ \ ]
- a s i n i s t r a d e l & g t ; h o l a P D F s o t t o \ \ ( H \ _ 0 \ \ )
- s e \ \ ( p \ \ ) p i c c o l o ( m i n o r e d i \ \ ( \ a l p h a \ \ ) )
- a b b a n d o n o \ \ ( H \ _ 0 \ \ )
- s e \ \ ( p \ \ ) g r a n d e ( m a g g i o r e d i \ \ ( \ a l p h a \ \ ) )
- m a n t e n g o \ \ ( H \ _ 0 \ \ )
- c o n f r o n t a n d o \ \ ( p \ \ ) c o n \ \ ( \ a l p h a \ \ )
- q u e s t a n o n l a s a p p i a m o c a l c o l a r e ( n o n s a p p i a m o l a d i s t r i b u z i o n e )
T r a s f o r m a i n q u a n t i t á p i v o t a l e
- \ \ ( \ m a t h b b { P } ( Q > \ f r a c { \ b a r { x } - \ m u } { \ f r a c { S } { \ s q r t { n } } } ) = p \ \ )
- \ \ ( Q \ s i m t ( n - 1 ) \ \ )