Dan's Brain

Fisica

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Vettori

Prodotti vettoriali tra i versori degli assi:

\begin{align*} \vec{i} \times \vec{j} &= \vec{k} \qquad \vec{j}\times\vec{u}=-\vec{k} \\
\vec{j} \times \vec{k} &= \vec{i} \qquad \vec{k}\times\vec{j}=-\vec{i} \\
\vec{k} \times \vec{i} &= \vec{j} \qquad \vec{i}\times\vec{k}=-\vec{j} \\
\vec{i} \times \vec{i} &= \vec{j}\times\vec{j} = \vec{k}\times\vec{k} = 0 \end{align*}

Elettrostatica

\[k_0 = 8.99 \cdot 10^9 \frac{Nm^2}{C^2}\] \[ q_e = -1.6 \cdot 10^{-19}C = -e \] \[ m_e = 9.11\cdot 10^{-31}kg \]

Moto di Cariche

\[ \vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2 \] \[ \vec{v} = \vec{v_0}+\vec{a}t \]

Per un corpo con carica \(q\) e massa \(m\) in un campo elettrico: \[ m\vec{a}=\vec{F}=q\vec{E}\rightarrow \vec{a}=\frac{q\vec{E}}{m}=\frac{q}{m}(E_x\vec{i}+E_y\vec{j}) \]

Lavoro e Energia

\[ L_E = |\vec{F}||\vec{s}| \cos{\theta_{\vec{F},\vec{s}}} \] \[ |\vec{F}| = |-e\vec{E}|=eE \]

\[ L_E = \Delta E_k = \Delta U = q(V_A - V_B)\] \[\Delta E_k = 0 - \frac{1}{2}m_e v_0^2 \]

  • in caso di corpo inizialmente fermo

\[P_E = \frac{L_E}{\Delta t} = - \frac{eEs}{\Delta t}= - \frac{eEv_0\Delta t}{\Delta t}\]

  • potenza sviluppata dal campo elettrico
  • negativa nel caso la forza elettrica si opponga al moto

Legge di Coulomb

\[k_e = \frac{1}{4\pi \epsilon}\]

Campi elettrici

\[E(\vec{r})=k_e \frac{q}{|\vec{r}-\vec{r_o}|^2}\vec{u}\]

  • campo elettrico prodotto in \(\vec{r}\) da una carica puntiforme \(q\) posta in \(r_o\)

\[V(\vec{r}) = k_e \frac{q}{ |\vec{r}-\vec{r_o}| }+K \]

  • potenziale prodotto in \(\vec{r}\) da una carica puntiforme \(q\) posta in \(r_o\)

\(\vec{F} = q_0\vec{E}\)

  • forza su una particella di carica \(q_0\) posta in un campo elettrico

\(\vec{p} = q\vec{d}\)

  • momento di dipolo elettrico

Dipolo elettrico

Momento del Dipolo \(p=qd\)

  • Piano Mediano

    Sul piano di direzione del campo elettrico é costante e uguale a quella della congiungente tra i due poli

    • le componenti \(y\) si annullano

    \[\vec{E} =- k_e \frac{qa}{(\frac{d^2}{4}+y^2)^{3/2}}\vec{i}\]

    • per \(|y| \gg a\) vale \[\vec{E} =-\frac{kp}{|y|^3}\vec{i}\]

  • Lungo l’Asse

    \[\vec{E} = k_e \frac{2qxd}{x^2 - \frac{d^2}{4}}\vec{i}\]

    • per \(|x| \gg a\) vale \[\vec{E}= \frac{2kp}{|x|^3}\vec{i}\]

Distribuzione Lineare e Uniforme Infinita

\[\vec{E} = 2k_e\frac{\lambda}{r}\vec{u}\]

Legge di Gauss

Vale sempre, é una legge generale del campo elettrico. \[ \Phi_{\vec{\sum}}= \int_{S} \vec{E} \cdot \vec{n} dS = 4\pi k_e \sum_{i\to \infty} Q_i \] Valgono alcuni casi particolari

  • Simmetria Sferica di carica

    \(E = k_e \frac{Q}{R^2}\)

  • Simmetria Assiale

    \(E= 2k_e \frac{\lambda}{R}\)

  • Simmetria Planare

    \(E = 2 \pi k_e \sigma = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\)

Circuiti

Legge di O

\(V=RI\)

Condensatori

\(C = \frac{q}{V}\)

  • Capacitá

\(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\)

  • Condensatori in serie

\(C = C_1+C_2\)

  • Condensatori in parallelo

\(U_E = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}qV\)

  • Energia immagazzinata in un condensatore

  • Condensatore Piano

    \(C=\varepsilon_0 \frac{S}{d}\)

    • \[\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi k_0} \]

    \(E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\) \(V=Ed\)

Resistenze

\(R_{eq} = R_1 + R_2\) \(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\)

\(P = RI^2\)

  • potenza assorbita nella resistenza

\(P=VI\)

  • potenza erogata da una forza elettromotrice (f.e.m.)

Kirchhoff

\[\sum_i I_i = 0 \]

  • nodi

\[\sum_j f_j - \sum_k R_kI_k = 0 \]

  • maglie

Circuito RC

\(q(t) = q_0 (1-e^{-t/\tau})\) \(i(t)=\frac{dq}{dt} = i_0e^{-t/\tau}\)

  • dove \(\tau = RC\)

Magnetismo

\(B=2k_m\frac{I}{r}\)

  • modulo del campo magnetico generato da un filo rettilineo di lunghezza infinita percorso da una corrente \(I\) in punto a distanza \(r\) dal filo

\(B=4\pi k_mnI = \mu_0nI\)

  • modulo del campo magnetico generato da un solenoide rettilineo ideale

\[\vec{B}=2k_m\frac{I\pi R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\vec{n}\]

  • Campo generato da una spira circolare percorsa da corrente, lungo l’asse della spira

\[\vec{B} = \frac{k_m}{k_e}\vec{v}\times\vec{E}\] \[\vec{B} = \frac{1}{c^2}\vec{v}_a \times \vec{E}_B\]

  • Campo generato da una carica in moto in un campo elettrico

\(\vec{F}=q_0\vec{v}\times \vec{B}\)

  • forza su una particella carica \(q_0\) in moto in un campo magnetico

\(\vec{F}=\vec{I}\times\vec{B}l\)

  • forza su un filo rettilineo di lunghezza \(l\) percorso da corrente

\[F=2k_m\frac{I_1I_2}{d}l\]

  • modulo della forza fra due fili rettilei paralleli percorsi da corrente

\(\vec{m}=IS\)

  • momento di dipolo magnetico di una spira di area \(S\)

\[\Phi_{\Sigma}(\vec{B})=\int_\Sigma \vec{B}\cdot \vec{n}dS\]

  • flusso campo magnetico attraverso una superfice \(\Sigma\)

\(\Phi_B = \vec{B}\cdot\vec{n}S = BS \cos{\theta}\)

Faraday Lenz

\[\varepsilon_i=-\frac{d\Phi_\Sigma(\vec{B}) }{dt}\]

Fili

\[F= \frac{\mu_0I_1I_2l}{2\pi d}\]

  • repulsiva con correnti nel verso opposto, attrattiva se nello stesso verso

Induttanza

\(\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}\)

  • f.e.m. autoindotta

\(L = 4\pi k_mn^2lS = \mu_0 n^2 lS\)

  • induttanza di solenoide rettilineo

\(U_M = \frac{1}{2}LI^2\)

  • energia immagazzinata in un solenoide

\(L_{eq} = L_1 + L_2\)

  • induttanze in serie

\(\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}\)

  • induttanze in parallelo

Forza elettromotrice autoindotta:

\begin{align*} \vec{F}_B &= (I_0 + I_{\text{ind}})LB_I\vec{u} \\
&= \frac{\varepsilon - B_ILv}{R}LB_I\vec{u} \end{align*}

Circuito LR

\(I=I_0(1-e^{-t/\tau})\)

  • corrente dopo chiusura con \(\tau = \frac{L}{R}\)

\(I=I_0 e^{-t/\tau}\)

Circuito LC

\(q = q_0 \cos{(\omega_0t + \emptyset)}\)

  • dove \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)

Circuito RLC

\(Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}\)

  • impedenza in presenza di una f.e.m. alternata con pulsazione \(\omega\)

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