Fisica per Applicazioni di Realtà Virtuale

• Professore: Matteo Brogi

Introduzione

Fisica:

• studio dei fenomeni naturali
• attraverso la misura delle grandezze fisiche
  • con evidenza sperimentale, determina se il modello è inadeguato o meno

In antichità fisica e filosofia confluivano in un unica disciplina, con la prima rivoluzione scientifica del XVI-XVII secolo le due discipline vengono distinte. Si definisce il metodo scientifico con la fisica classica.

• descrive bene la realtà alle scale abituali

La necessità di descrivere fenomeni macro e microscopici porta alla seconda rivoluzione scientifica del XIX-XX secolo.

• contrasta con l’intuizione ma permette il progresso tecnologico
• li metodo rimane lo stesso ma:
  • la misura può essere distruttiva
  • certi sistemi vanno descritti stocasticamente

Cifre Significative e Decimali

• significative, numero di cifre che compongono il numero
  • gli zeri all’inizio non si contano
• decimali, numero di cifre dopo la virgola
• le cifre tranne l’ultima sono certe, l’ultima è incerta

Da qua si fonda la teoria degli errori.

Cinematica

Studio di punti materiali, senza dimensione, senza studio della causa del moto.

• velocità media
• velocità istantanea, derivata prima dello spostamento
• accelerazione media
• accelerazione istantanea, derivata prima della velocità, derivata seconda dello spostamento

Moto Rettilineo Uniforme

• velocità costante

\[x = x_0 + vt\]

Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato

• accelerazione costante

\[x = x_0 + vt\] \[v = v_0 + at\] \[v=\frac{v_0+v}{2}\] \[x=x_0 + v_0t+\frac{1}{2}at^2\] \[v^2 =v_0^2+2a\Delta x\]

Cinematica Bidimensionale

• non basta la descrizione scalare
• moto in \[R^2\]
• spostamento come differenza vettoriale
• versori cartesiani in ogni punto della traiettoria
  • \(\hat{u}_T\), tangente
  • \(\hat{u}_N\), perpendicolare

Sia accelerazione che velocità sono scomponibile in queste componenti in ogni istante. L’accelerazione tangenziale varia il modulo della velocità e quella normale varia la sua direzione.

Moto parabolico

Moto composto di un moto uniforme e uno uniformemente accelerato. \[y = (\tan \theta_0) x - (\frac{g}{2v_{0}^2 \cos^2 \theta_0}) x^2\]

Moto Circolare Uniforme

In realtà accelerata, la velocità cambia di direzione per tutto il moto. \[a_R = a = \frac{dv}{dt}\frac{v}{r}\frac{dl}{dt}=\frac{v^{2}}{r}\]

Moto Relativo

\[\vec{v_{A}} = \vec{v_{R}} + \vec{v_{T}}\] Finché i moti relativi sono uniformi ogni sistema di riferimento vale l’altro. Si definiscono rispetto i due sistemi:

• velocità assoluta
• … relativa
• … assoluta

Dinamica

Studio del moto considerando le cause. I punti rimangono materiali.

Forza

Causa delle modifiche delle caratteristiche cinematiche di un corpo.

• forza di contatto
  • risolta dalla meccanica quantistica come approssimazione a scala macroscopica di dinamiche di campo microscopiche
• forza di campo

Primo Principio

Legge di Inerzia

In assenza di forze esterne, un oggetto in quiete rimane in quiete e un corpo in moto mantiene la sua velocità immutata.

• i sistemi inerziali sono quelli in cui vale questo principio.
  • è necessaria una causa evidente, una forza, per causare la modifica dello stato di moto di un corpo
• i sistemi non inerziali sono sistemi in cui e' necessario introdurre forze apparenti

Secondo Principio

Legge di Newton

L’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla forza risultante che agisce su di esso, ed inversamente proporzionale alla sua massa.

\[\sum \vec{F} = m \vec{a}\]

La massa (in questo contesto inerziale o passiva) è una grandezza scalare, una costante di proporzionalità che lega forza ed accelerazione. Traduce l’azione dinamica di una forza nel suo effetto cinematico.

Terzo Principio

Principio di azione e reazione

Nell’interazione tra due corpi la forza esercitata dal corpo a sul corpo b è uguale ed opposta a quella esercitata dal corpo b sul corpo a.

\[\vec{F}_{ab} = - \vec{F_{ba}}\]

Forza Elastica

Forza di richiamo proporzionale all’elongazione

• base del funzionamento del dinamometro

Legge di Hooke: \[\vec{F}_{el}= - K \vec{x}\]

Forze di Vincolo

Un vincolo è un corpo che impedisce il moto perpendicolare a esso, finché si mantiene la sua integrità strutturale.

Forza di Attrito

• si oppone al moto
• ha modulo proporzionale alla forza premente perpendicolare al vincolo (la forza vincolare)
• ha direzione parallela al vincolo

Può essere statico o dinamico. Il primo si oppone alla creazione del moto, la seconda all continuazione del moto.

\[F_{fr} \le \mu_s F_N\]

• bisettrice del primo quadrante tra attrito statico e forza applicata parallela al vincolo, fino al punto di stacco

\[F_{fr} = \mu_k F_N\]

• forza costante che dipende solo dalla reazione vincolare
• la forza è tangente alla traiettoria

Il comportamento dei corpi sul piano inclinato semplificato (in assenza di attrito viscoso per via dell’aria) è indipendente dalla massa. Quest’ultima viene infatti semplificata.

Moto circolare con Attrito

Forza di attrito statica sugli pneumatici sommata corrisponde alla forza centripeta del moto circolare. Il sistema è accelerato e quindi non inerziale:

• possono esistere cause di modifiche del moto a causa di forze non apparenti
  • forza centrifuga
• dal punto di vista del sistema inerziale da terra la forza centrifuga non esiste, è la tendenza secondo il principio di inerzia di seguire la tangente alla velocità

Velocità limite

• mettendo a sistema la massima forza frenante dato l’attrito e la legge dinamica del moto circolare
• relazione quadratica tra velocità massima e raggio di curva

Gravitazione

Chiara indicazione di interazioni a distanza.

• forza centripeta responsabile del moto dei satelliti

Legge di Newton della gravitazione universale

\[\vec{F}=-G\frac{M_{1}M_2}{R^2}\vec{u}_{r}\]

• la massa indicata qui è la massa attiva del corpo, diversa in principio dalla massa inerziale
  • numericamente uguali per la costante di accoppiamento \[G=6.67\cdot10^{-11} NM^{2} /Kg^{2}\]
    • misurata sperimentalmente con la bilancia di Cavendish, torsione lineare rispetto alla forza applicata
• l’attrazione non è mai nulla, serve una distanza infinita affinché lo sia

Leggi di Keplero

• tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche piane, il Sole occupa uno dei fuochi dell’orbita
• velocità aereolare è costante
  • quindi l’oggetto vicino al fuoco ha velocità maggiore mentre quando si allontana rallenta
• il quadrato del periodo orbitale del pianete è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’orbita ellittica
  • \[T^2 \propto R^3\]

Principio di Equivalenza

Sistema Inerziale: i principi di riferimento inerziali l’un l’altro non sono differenziabili l’un l’altro osservando gli effetti delle forze nei sistemi.

I fenomeni dinamici e i fenomeni gravitazionali non possono essere differenziati dall’interno di un sistema non inerziale.

• non è possibile discriminare la causa di non inerzialità di un sistema
• fondamento della relatività

Lavoro e Energia

A partire dal Lavoro si definisce l’Energia

Lavoro

Prodotto scalare tra la forza applicata e lo spostamento effettuato. Prodotto del modulo dello spostamento per la componente della forza parallela allo spostamento stesso.

In caso di forza variabile è definito con l’integrale e l’area sottesa da \[F\] sulla distanza \[d\].

• \[W = \int_{d_A}^{d_B}\vec{F}(x) \cdot d\vec{x}\]

Energia

La capacità di compiere lavoro.

Teorema delle Forze Vive

Definita tramite leggi di Newton e moto rettilineo: \[d = \frac{1}{2} mv_2^2 - \frac{1}{2} mv_1^2\] \[K = \frac{1}{2} mv^2\] \[W = \Delta K = K_{fin} - K_{iniz}\]

Il lavoro totale applicato sul corpo è uguale alla variazione di energia cinetica.

NB: non ci sono ipotesi restrittive sulle forze in gioco, il teorema vale generalmente per ogni forza.

Forze conservative e non conservative

• conservative: il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punto di partenza e di arrivo
• non conservative: il lavoro dipende dal cammino percorso, e non solo dai punti di partenza e arrivo (i.e. forze dissipative)

Energia Potenziale Gravitazionale

Potenziale capacità di compiere lavoro che un corpo ha in virtù della sua posizione.

\[U(y) = mgy + U_0\] Se la forza è conservativa: \[W = -\Delta U = U_i - U_f\]

Energia Potenziale Elastica

\[U(x) = \frac{1}{2}Kx^2 + U_0\]

Conservazione dell’energia totale meccanica

Quindi nel caso di forze conservative: \[ W = \Delta K = -\Delta U\] \[ \Delta K + \Delta U = 0\]

Questo perché le energie potenziali sono definito solo per le forze conservative.

Potenza

La derivata del lavoro. Misura quanto rapidamente venga compiuto un lavoro. \[P = \frac{dW}{dt} = \vec{F}\vec{v}\] \[\overline{P} = \frac{W}{\Delta t}\]

Legame tra forza ed energia

\[F_x = - \frac{dU}{dx}\] \[\vec{F}(x,y,z) = - \vec{\nabla U} = - \frac{\delta U}{\delta x} \vec{i}- \frac{\delta U}{\delta y} \vec{j}- \frac{\delta U}{\delta z} \vec{k}\]

• l’integrale diventa gradiente sulle tre dimensioni
• superficie equipotenziale: luogo dei punti aventi la stessa energia potenziale
• forza \(F\) sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali

La forza è la derivata dell’energia potenziale, quindi un punto di equilibrio in cui la risultante delle forze è nulla indica un punto di massimo o minimo dell’energia.

• equilibrio instabile: massimo dell’energia potenziale, forza repulsiva
• equilibrio stabile: minimo dell’energia potenziale, forza di richiamo
• equilibrio indifferente: energia potenziale costante, forza nulla

Oscillatore Armonico

Moto armonico semplice

oscilla senza dipendere dalla ampiezza \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] \[f = 1/T\] \[v_0 = \omega A\] \[a =- \omega^2 A\] \[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 2\pi f\]

Moto armonico forzato

Non dipende dalla forza costante applicata per produrre l’allungamento iniziale. L’unico effetto del moto armonico forzato è quello di spostare il punto di equilibrio iniziale. \[\sum F = 0 = mg - Kx_0\]

Nuova posizione di equilibrio data da un allungamento pari a: \[ x_0 =\frac{mg}{K}\] Da qui se si genera un moto armonico valgono le stesse leggi del moto armonico semplice.

Il Pendolo

Moto armonico piano. Una massa appesa a un vincolo. \[\theta = \theta_{max} \cos (\omega t)\] \[ \omega = \sqrt{\frac{g}{T}}\] \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]

• non dipenda da massa e posizione del pendolo

Il Pendolo di Foucault dimostra la rotazione terrestre in quanto non ci sono forze altrimenti in gioco per modificare il piano.

Quantità di moto

\[\vec{p} = m \vec{v}\enspace [kg \ m \ s^{-1}]\] Compare nella vera formulazione della legge di Newton, in caso di massa non costante: \[\sum \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\]

Da questa formulazione si ottiene la legge di conservazione della quantità di moto: \[\sum \vec{F} = \vec{0} \implies \vec{p}= const\]

Impulso

Strumento per lavorare senza conoscere esattamente le forze:

• una forza che agisce in un tempo breve rispetto al tempo caratteristico del sistema
• ad esempio negli eventi cosmologici i tempi caratteristici sono molto grandi

\[\vec{I}=\int^{t_f}_{t_i} \vec{F}\ dt \enspace [N \ s]\] Teorema dell’impulso: \[ \vec{I} = \Delta \vec{p} \] Forza media (dal teorema della media in analisi) \[\vec{I} = \langle \vec{F} \rangle \Delta t\]

• modo di misurare la forza media semplicemente misurando la quantità di moto iniziale e finale

Dinamica dei Sistemi

Si cominciano a considerare i corpi aventi una dimensione e quindi anche una rotazione.

Moto Traslazione

Centro di Massa

Abbiamo un sistema di corpi puntiformi e definiamo il CM come media delle posizioni di questi punti pesata dalle loro masse. \[\vec{x}_{CM} = \frac{\sum_{i} m_i \vec{x_{i}}}{M}\]

È il punto che permette di fattorizzare il moto rotatorio e traslazionale del sistema a una rotazione del CM e una traslazione del CM. Come se il moto agisse su un singolo punto con la stessa massa e stesse forze esterne.

Il CM descrive completamente il moto traslazionale. Il moto è direttamente correlato alla forza risultante sul sistema. Solamente alla risultante alle forze esterne in quanto le forze interne si annullano a coppie.

\[M\vec{v}_{CM} = \sum_i m_i \vec{v_{i}}\]

• quindi la quantità di moto totale del sistema

Seconda legge di Newton per sistemi materiali

Per la terza legge della dinamica le forze interne è per definizione nulla.

• si annullano a coppie
• non sono in grado di modificare la traslazione, al massimo la rotazione

Baricentro

Punto di azione della risultante della forza di gravità applicata. Il baricentro e il centro di massa corrispondono solo se il campo gravitazionale è uniforme.

Corpo Umano

• normalizzato, tutte le misure sono relative a 100
• si moltiplicano tutte le grandezze in tabella per l’altezza in metri

Massa Variabile

\[\vec{R}_{EXT} = M \frac{d\vec{v}}{dt}} + ( \vec{v} - \vec{u} ) \frac{dM}{dt}\]

Nel caso del razzo, considerando la definizione di velocità relativa per il gas espulso dal razzo: \[M \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{R}_{EXT} + \vec{v_{rel}} \frac{dM}{dt}\]

• il secondo membro a destra è la forza di spinta, costante
• \[\vec{v}-\vec{u} = - \vec{v_{rel}}\]
  • questa velocità dal sistema del razzo è costante

Se il moto è rettilineo: \[M \frac{dv}{dt} = - v_{rel} \frac{dM}{dt}\] Partendo da questa equazione, integrando e risolvendo l’equazione differenziale si ottiene la relazione tra Massa iniziale, finale e velocità iniziale e finale. \[\frac{M_{f}}{M_0} = e^{\frac{-v_{f}}{v_{rel}}}\]

Il moto non è uniformemente accelerato in quanto al massa diminuisce sempre di più mentre la forza di spinta è costante.

Moto Rotatorio

La velocità angolare è indipendente dalla distanza dal centro, da questa si definisce l’accelerazione angolare. Questa accelerazione tangenziale si aggiunge all’accelerazione radiale centripeta.

\[a_{tan} = r \dotted{\theta}\]

C’è una mappatura logica tra leggi cinematiche del moto traslatorio e quello rotatorio. Le variabili si mappano una nell’altra lasciando le formule le stesse.

Dove \(\theta\) è l’angolo percorso in radianti: \[ w = w_0 + \alpha t\] \[ \theta = w_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2\] \[ w^2 = w_0^2 + 2 \alpha \theta\] \[\overline{w} = \frac{w+w_{0}}{2}\] Con α costante.

Attrito

• mancanza di attrito
  • l’oggetto non può rotolare, può solo scivolare
  • l’attrito statico è la causa del rotolamento iniziale
• moto di puro rotolamento
  • punto di contatto \(P\) istante per istante è differente, in quiete rispetto al piano considerando infinitesimi di tempo
  • solo l’attrito statico è rilevante al moto
  • attrito statico e \(P\) in quiete significa lavoro delle forze di attrito nullo
  • l’energia non viene dissipata
• moto con rotolamento e strisciamento
  • se c’è strisciamento del punto di contatto entra in gioco l’attrito dinamico
  • in relazione allo strisciamento viene dissipata energia per lavoro contro le forze di attrito

Momento Torcente

\[ \vec{\tau} = \vec{r} \land \vec{F}\]

• prodotto vettoriale di distanza per forza
  • NB il prodotto vettoriale è antisimmetrico

\[\tau = r_\perp F = r F \sin \theta\]

• esempio di bilanciamento delle forze in un volano su un asse
  • evita traslazione del sistema e rotazione dell’asse

Legge di Newton per le rotazioni

Perché si possano applicare queste equazioni va specificato l’asse di rotazione.

\[\sum \vec{\tau} = I \vec{\alpha}\]

• \(I\) è la costante di accoppiamento tra moto e accelerazione
  • inerzia che il corpo oppone alla modifica del suo stato rotazionale sotto l’azione di un momento torcente

Momento d’inerzia: \[I = \sum_i m_i d_i^2\]

\[I = \int_M d_i^2 dm = \int_V d_i^2 \rho dV\]

Momenti d’inerzia di solidi particolari:

• anello
• cilindro pieno e non
• sfera uniforme
• sbarra

Energia Cinetica Rotazionale

\[ K_{ROT} = \frac{1}{2} Iw^2\] \[ K = K_{TR} + K_{ROT}\]

• \(TR\) rispetto al centro di massa
• \(ROT\) rispetto ad un asse passante per il centro di massa

Lavoro e Potenza del Momento Torcente

\[W = F \Delta l = Fr \Delta \theta = \tau \Delta \theta\]

• nel caso semplificato in cui abbiamo forze costanti e non conti vettoriali

\[P = \tau \omega\]

Momento Angolare

Momento della quantità di moto. \[ L = I \vec{\omega}\]

Seconda legge di Newton generalizzata per le rotazioni:

• tiene conto che il momento di inerzia possa variare nel sistema
• molto più facile cambiare il momento di inerzia che la massa nel corrispettivo traslazionale

\[\sum \vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}\]

Il momento angolare totale di un corpo che ruota rimane costante se il momento torcente risultante che agisce su di esso è nullo. \[I\omega = I_0 \omega_0 = const\] Se conservo il momento angolare non conservo l’energia cinetica rotazionale.

• in quanto \(\omega\) compare al quadrato mentre \(I\) no
• l’energia aumenta in quanto c’è un lavoro trainante che modifica il momento di inerzia
  • le forze che modificano l’assetto rotazionale sono forze interne e quindi non modificano il moto traslazionale in atto

Statica

Lo studio dell’equilibrio:

• assenza di cause di moto, sia traslazionale che rotazionale

2 condizioni: \[ \vec{R} = \sum \vec{F} = \vec{0}\] \[ \vec{T} = \sum \tau = \vec{0}\]

Fondamentale negli esercizi scegliere l’asse di rotazione per cui imporre la statica in modo da annullare il braccio e quindi i contributi della maggior parte delle incognite.

Applicazioni al corpo umano

• inserzioni sfavorevoli della muscolatura
• peggio ancora sulla struttura spinale

Equilibrio Stabile

Se il corpo si sposta dalla posizione di equilibrio, la forza agente sul sistema è una forza di richiamo rispetto alla posizione di equilibrio, e quindi il sistema tende a ritornare spontaneamente nella posizione di equilibrio. Corrisponde ad un minimo dell’energia potenziale del sistema.

Equilibrio Instabile

Se li corpo si sposta dalla posizione di equilibrio, il sistema tende ad allontanarsi dalla posizione di equilibrio. Corrisponde ad un massimo dell’energia potenziale del sistema.

Equilibrio Indifferente

Il corpo rimane nella nuova posizione. Corrisponde ad un’energia potenziale del sistema costante.

Elasticità

Una forza applicata ad un corpo crea una deformazione.

• elasticità e sforzo
• deformazione risultato di uno sforzo
• la deformazione dipende dalla natura del materiale, dalla dimensione della sezione e dalla direzione della forza
• quando si parla di deformazione si tratta sempre di coppie di forze
  • per esempio una massa appesa e la reazione vincolare
• vale la legge di Hooke nella regione elastica, fino ad un massimo allungamento chiamato limite di proporzionalità
  • \(F =- K\Delta L\)
• regione plastica (oltre il limite elastico) quella in cui c’è ulteriore deformazione ma non più reversibile, la deformazione non è più proporzionale alla forza applicata
• il punto di rottura è anche il massimo allungamento

\[\Delta L = \frac{1}{E} \frac{F}{A}L_0\]

• la costante di proporzionalità \(\frac{1}{E}\) è detta modulo di elasticità o di Young

Lo sforzo può essere di tensione o di compressione.

• la forza è sempre applicata perpendicolarmente alla sezione
• le forze applicate parallelamente (lungo le facce) producono uno sforzo di taglio
  • si definisce un modulo di taglio \(G\) con una formula analoga alla precedente
  • \(\Delta L\) in questo caso è perpendicolare a \(L\)
• nel caso di forze applicate su tutto il volume e dirette verso il centro si ha un modulo di compressione \(B\)
  • pressione e sforzo sono logicamente equivalenti, aumento di pressione \(\Delta P\) porta una compressione \(\Delta V\)

\[\frac{\Delta V}{V_0} = - \frac{1}{B} \Delta P\] \[B = - \frac{\Delta P}{\Delta V / V_0}\]

Sforzi di frattura, gli sforzi di tensione o taglio sono più pericolosi.

Onde Meccaniche

Propagazione in un mezzo di una perturbazione dell’equilibrio che genera una successione di infiniti moti armonici.

• non si ha trasporto di materia
  • solo di energia
• la circonferenza aumenta sempre a partire dalla perturbazione e quindi l’energia diminuisce con la propagazione

Impulso d’onda, una singola perturbazione che si propaga nel mezzo.

Onda Periodica

Onda periodica, la causa della perturbazione è una causa periodica, persistente

• nella maggior parte dei casi è anch’essa un moto armonico
• l’oscillazione si propaga con una velocità che dipende dal mezzo
• la frequenza dell’onda non cambia durante la propagazione

Queste onde sono per definizione infinite, quindi possiede energia infinita. È una semplicazione utile a descrivere fenomeni locali. È un’onda teorica.

Grandezze di un’onda periodica:

• ampiezza \(A\), massima distanza di un punto dalla situazione di equilibrio
• lunghezza d’onda \(\lambda\), distanza tra due punti con la stessa fase (stesse variabili cinematiche per il moto armonico)
• frequenza \(f\), numero di cicli al secondo, periodo \(T\)
• velocità dell’onda \(v\), non ha nulla a che fare con la velocità del moto armonico \(\frac{\delta y}{\delta t}\)

\[v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f\] Per un’onda trasversale in una corda con densità \(\mu\): \[v = \sqrt{\frac{F_T}{\mu}} = \sqrt{\frac{F_T}{M/L}}\] In generale \[v = \sqrt{\frac{\text{fattore di elasticità}}{\text{fattore d’inerzia}}}\]

NB: il valore medio di ogni punto è lo stesso del punto in equilibrio, non c’è trasporto di materia.

Onda Trasversale e Longitudinale

Quando le due velocità (onda e moto armonico) sono perpendicolari si ha un’onda trasversale, quando parallele si ha un’onda longitudinale.

Un’onda longitudinale implica un cambiamento periodico di densità del mezzo, quindi si può concepire come un’onda di densità. Onda longitudinale in barra rigida: \[ v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}\] Onda longitudinale in liquido o gas: \[ v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}\]

NB: un’onda trasversale non si può propagare in un fluido, in quando un moto trasversale di una molecola non ha effetto sui suoi vicini.

Terremoti

• onde S, shear
  • trasversali
• onde P, pression
  • longitudinali

Energia e Intensità

L’energia trasportata dalle onde è proporzionale al quadrato dell’ampiezza: conseguenza del fatto che per ogni moto armonico si ha: \[E = \frac{1}{2}KA^2\] L’intensità \(I\) è definita come l’energia per unità di tempo (potenza) che attraversa l’unità di superficie perpendicolare alla direzione del flusso dell’energia. In caso di onda propagata in tutte le direzioni in un mezzo isotropo questa è un’onda sferica: \[I = \frac{P}{4\pi r^2}\]

L’ampiezza ha proporzionalità inverso rispetto la distanza: \[A \propto \frac{1}{r}\]

Riflessione

• nel momento in cui c’è un cambio mezzo
  • una parte di onda viene trasmessa e parte viene riflessa
  • se la secondo mezzo è trasparente permette la trasmissione
    • comunque una parte sarà riflessa
• la riflessione in mezzo più lento avviene in opposizione di fase
  • densità maggiore
• la riflessione in mezzo più veloce il ribaltamento non c’è opposizione di fase
  • densità minore

Topologia delle Onde

• l’onda è sferica
  • l’onda piana è una semplificazione data da un’onda sferica a distanza infinita
    • i raggi sono tra loro praticamente paralleli
• fronte d’onda
  • insieme dei punti dotati di fase uguale
• raggio
  • linea perpendicolare al fronte d’onda, parallela alla direzione di propogazione dell’onda

Riflessione onde piane

• onda bi o tri-dimensionale piana
• l’angolo di riflessione è uguale a quello di incidenza

L’angolo che il fronte d’onda piano incidente forma con la superficie riflettente è uguale a quello formato dal fronte d’onda riflesso.

Sia l’angolo di incidenza che l’angolo di riflessione sono misurati rispetto alla normale alla superficie riflettente.

Una misura alternativa di questi due angoli è fornita dagli angoli che il fronte d’onda forma con la tangente alla superficie riflettente.

\[\theta_i = \theta_r\]

Principio di Sovrapposizione

Se sono presenti due o più cause che perturbano il mezzo la perturbazione totale è data dalla somma algebrica delle perturbazioni che sarebbero introdotte dalle singole cause.

\[ y_{tot} = y_1 + y_2\]

Interferenza

• conseguenza del principio di sovrapposizione
  • caso particolare
• le onde devono essere coerenti
  • quindi \(f\) costante e \(f\) uguali tra loro
• interferenza costruttiva tra onde in fase
  • \(\Delta \theta = 0^o / nT\)
• interferenza distruttiva tra onde in opposizione di fase
  • \(\Delta \theta = 180^o / (2n+1)T/2\)

Onde Stazionarie

• caso particolare di interferenza
• non sono onde
• sono il prodotto di interferenza, una regressiva e una progressiva, che coesistono in un mezzo limitato
  • progressiva va verso il limite
  • regressiva è stata riflessa dal limite
  • l’interferenza è costruttiva solo per determinate frequenze
• la limitatezza del mezzo
  • causa la riflessione all’estremo o agli estremi in cui il mezzo è limitato
  • fa si che l’onda non solo non trasporti massa ma non trasporti neanche energia
    • il moto armonico mantiene la sua ampiezza d’onda

Son vincolate dalle condizioni al contorno. Lo spostamento agli estremi deve essere nullo.

• agli estremi devono esserci nodi dell’onda
• le frequenze ospitabili sono le armoniche
  • fondamentale è l’onda stazionaria di minima frequenza \(f_1\) e massima \(\lambda_1\)
  • superiori hanno frequenze multiple e \(\lambda\) sottomultiple

\[\lambda_n = \frac{2L}{n} = \fracx{\lambda_1}{n}\] \[f_n = \frac{nv}{2L} = nf_1\]

Principio di Huygens

Principio da cui derivare tutte le altre proprietà della teoria delle onde.

Ciascun punto del fronte d’onda può esser considerato come songente di onde secondarie emi-sferiche, che si dipartono dal punto nella stessa direzione del fronte d’onda e con la stessa velocità. Il nuovo fronte d’onda è costituito dall’inviluppo di tutte le onde secondarie, cioè dalla superficie tangente ad esse.

Dal punto di vista fisico si ha una interferenza di onde coerenti in fase. Il nuovo fronte d’onda si crea dalla interferenza costruttiva di queste onde secondarie.

Questo principio spiega il fenomero di diffrazione attorno alle estremità di un’ostacolo, attraverso una fenditura più langa del valore della lunghezza d’onda, e attraverso una fenditura dello stesso ondine di grandezza di \(\lambda\).

• se \(\lambda\) è maggiore della fenditura allora l’onda non può passare, non ci sta neanche un punto di Huygens

Acustica

La parte delle onde meccaniche che si occupa della propagazione del suono. Il suono è:

• onda longitudinale
• di compressione
• di rarefazione
• nella materia

\[v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}\] Definiamo pressione \(P\) misurata in Pascal \(\text{Pa}\) \[P = \frac{F_N}{A}\]

Possibile descrivere l’onda sia in relazione allo spostamento sia alla pressione. L’onda di spostamento è sfasata di un quarto di lunghezza d’orda rispetto all’onda di pressione.

• massimo/minimo di pressione \(\to\) spostamento nullo
• variazione di pressione nulla \(\to\) massimo spostamento

Caratteristiche del suono

• tono: suono acuto o grave, la grandezza fisica corrispondente è la frequenza
• intervallu di udibilità: \(20 \text{Hz} \div 20 \text{KHz}\), in contrazione con l’età
• ultrasuoni: frequenza maggiore di \(20 \text{KHz}\)
• infrasuoni: frequenza minore di \(20 \text{Hz}\)
• sensazione sonora: percezione umana legata all’intensità del suono
• velocità del suono nell’aria: \(342\text{ m/s}\)
• livello di intensità misurato in bel o decibel

\[\beta (dB) = 10 \log \frac{I}{I_0}\]

Orecchio Umano

• orecchio esterno
  • condotto fino a timpano, membrana che vibra in corrispondenza alle onde acustiche di pressione
• orecchio medio
  • tre ossicini, martello, incudine, staffa
  • trasferiscono vibrazioni dall órecchio interno attraverso la finestra ovale
  • il rapporto tra la superfice del timpano, molto maggiore di quella della finestra ovale e il sistema di leve porta un’amplificazione dell’ampiezza di pressione di un fattore circa 40
• orecchio interno
  • canali semicircolari bilanciano il suono
  • coclea piani di liquido trasforma in impulso elettrico l’impulso acustico
  • sistema nervoso trasferisce l’impulso elettrico al cervello
• il danno uditivo avviena nella finestra rotonda, che non riesce più a smorzare bene l’impulso che arriva attraverso il liquido della coclea e porta a riflessione acustica e quindi interferenze

Sensibilità acustica misurata in phon, suoni di frequenza diversa portano a sensazioni acustiche diverse a parità di intensità.

Strumenti Musicali

Passando da un mezzo all’altro il suono cambia velocità e ampiezza d’onda ma non frequenza. Salire di un ottava significa raddoppiare frequenza e viceversa.

In strumenti a corda:

• lunghezza della corda fissata
• la forza con cui si colpisce la corda rappresenta la forza che definisce la velocità di propagazione
  • aumentando la tensione lineare aumenta la velocità
  • tirare o allentare significa aumentare e diminuire la frequenza
• il tasto diminuisce \(L\)
  • quindi cambia la frequenza aumenta man mano
• un accordo è l’unione di note con la stessa armonica fondamentale creando l’armonia (interferenza costruttiva)
• la lunghezza d’onda fondamentale è \(\lambda = 2L\)

Strumenti a tubo aperto

• continua a valere \(L = \frac{1}{2}\lambda\)
• allungare il tubo significa abbassare la frequenza

Strumenti a tubo chiuso

• \(L = \frac{1}{4}\lambda\)
• può ospitare solo armoniche dispari
• ha ricchezza cromatica minore

Il suono è diverso per voci, strumenti diversi in quanto cambiano i contributi delle armoniche superiori. è definito dallo spettro del suono. L’armonica fondamentale, o quella dominante in ampiezza, fornisce il tono della nota. Lo spettro delle armoniche superiori, in ampiezza e frequenza, fornisce il timbro.

Interferenza

L’interferenza in caso di monofrequenza e in fase è

• costruttiva quando la differenza di percorso corrisponde a un multiplo intero della lunghezza dell’onda
• completamente distruttiva se la differenza è un multiplo intero della semilunghezza d’onda

Battimenti

Si verifica in caso di frequenze leggermente dissimili:

• provoca composizione di fenomeni periodici di frequenza media rispetto alle costituenti
• una variazione di ampiezza con frequenza definita detta frequenza di battimento
• non è interferenza perchè le frequenze sono diverse

\[f_b = | f_1 - f_2|\]

Questo fenomeno è alla base dell’accordatore.

Moto delle sorgenti

• sorgente ferma
  • emissione sferica
  • fronti d’onda equidistanti in tutte le direzioni
• velocità subsonica
  • fronti d’onda si accumulano
  • diminuendo la lunghezza d’onda di fronte alla sorgente
  • effetto Doppler

Sorgente in moto e osservatore fermo: \[ \lambda_1 = \frac{v-v_s}{f_0} \to f_1 = \frac{v}{v-v_s}f_0\] Sorgente ferma e osservatore in moto: \[ f_2 = \frac{v+v_0}{v}f_0\] NB \(f_1 \neq f_2\)

• velocità uguale a quella del suono
  • i fronti d’onda si accumulano esattamente di fronte alla sorgente
  • il superamento della velocità del suono deve superare la barriera costituita dal fronte d’onda anteriore, si infrange il muro del suono
  • bang ultrasonico è un’onda d’urto che è costituita dall’interferenza costruttiva di tutti i fronti d’onda che si accumulano
  • un oggetto a forma composta produce più onde d’urto

\[n_{\text{mach}} = \frac{v_\text{sorgente}}{v_\text{suono}}\]

\[\sin \theta = \frac{v_\text{suono}}{v_\text{sorgente}}\]

Sonar

Sound, Navigation and Ranging

• applicazione della tecnica eco pulsata
• l’intervallo di tempo tra trasmissione e ricezione nota la velocità del suono nel mezzo permette di determinare la posizione di un’oggetto
• maggiore frequenza più il suono viene attenuato
  • l’energia si dissipa per atrito nell’acqua
• la lunghezza d’onda deve essere più piccola dell’oggetto da individuare
  • altrimenti non rimbalza
• le frequenze utilizzate sono ultrasoniche per questi motivi
• la temperatura dell’acqua ha un grosso impatto sulla velocità di propagazione
  • ci sono diversi termoclimi a profondità diverse

Ecografia

• applicazione della tecnica eco pulsata
• studia le pareti di separazione tra i tessuti
• le frequenze utilizzate sono \(1 - 10\text{ MHz}\)
• ogni volta che cambia il mezzo c’è una parte riflessa
• passaggio maggiore di densità significa una maggiore riflessione
• ampiezza e tempo del rimbalso informano sul tessuto di rimbalso e la posizione
• eco-doppler utilizzato per valutare il flusso sanguigno nelle vene o il battito cardiaco fetale
  • se il tessuto che causa il rimbalso ha usa velocità crea un effetto doppler

Ottica

Ottica Geometrica

Semplifica la descrizione della luce:

• luce percorre solo linee rette
  • raggi rettilinei
• un oggetto in principio diffonde i raggi in tutte le direzioni
  • tranne casi particolari come specchi
• la visione può avvenire attraverso i raggi diretti provenienti direttamente dalla sorgente
  • o raggi diffusi
  • parte può essere assorbita

Riflessione

• Riflessione Speculare

  Il raggio incidente su una superficie perfettamente piana viene riflesso formando un’angolo uguale a quello formato dal raggio incidente con la normale alla superficie.

  \[\theta_i = \theta_r\]

• Riflessione Diffusiva

  Il raggio incidente su una superficie scabra la normale cambia punto a punto e quindi i raggi vengono riflessi in ogni direzione.

  • quindi un ossevatore può vedere la luce tutto attorno all’oggetto

• Formazione di Immagini

  • punto oggetto
    • sorgente di un flusso divergente
    • può essere una sorgente o un flusso che emerge da un punto
  • strumenti ottici
    • manipolano flussi di raggi
  • punto immagine
    • punto da cui emerge un flusso di raggi divergente
    • immagine virtuale se il flusso di raggi sembra incontrarsi in quel punto
    • immagine reale se il flusso di raggi si incontra effettivamente in quel punto

  NB: concetto dell’invertibilità dei cammini reali, i percorsi che i raggi fanno all’andata sono gli stessi che i raggi fanno al ritorno.

• Equazione dello specchio

  Legge di Gauss o Equazione dei punto coniugati¹: \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_i} + \frac{1}{d_o}\]

  • vale in un sistema stigmatico
    • ottica di Gauss e ottica parassiale
      • deve esistere un fuoco
      • consideriamo \(\text{AB}\) un segmento perchè molto vicini

  Ingrandimento trasversale \(m\): \[m = \frac{h_i}{h_o} = - \frac{d_i}{d_o}\]

  • \(|m|>1\) ingrandimento
  • \(|m|<1\) rimpicciolimento
  • \(m<0\) capovolgimento

• Specchi piani

  • riflettono senza modificare l’immagine virtuale

• Specchi sferici

  Considerando raggi paralleli (sorgente all’infinito) questi vengono riflessi, secondo la legge di riflessione punto per punto, ma non convergono tutti nello stesso punto. Il fenomeno è noto come aberrazione sferica. Per questo specchi sferici forniscono immagini meno nitide rispetto agli specchi piani.

  • con uno specchio piccolo rispetto al raggio di curvatura l’aberrazione è trascurabile
  • approssimazione a piccoli angoli
    • due condizioni: ottica di Gauss e ottica parassiale
  • Caustica di confusione
    • se è abbastanza piccola la si può ignorare, come nei casi suddetti

  Un sistema la cui caustica di confusione è ignorabile si definisce stigmatico, ovvero crea immagini puntiformi con una buona approssimazione.

  • convesso, la riflessione avviene sulla superficie esterna della sfera e il centro di curvatura è dalla parte opposta rispetto l’osservatore
    • introducono divergenza
    • immagini rimpicciolite
    • campo visivo allargato
    • esempi: specchietti retrovistori, specchi stradali
    • punto focale interno allo specchio
      • negativo
    • raggio di curvatura negativo
    • le immagini sono solo virtuali
      • i flussi divergenti divengono più divergenti
      • le immagini sono sempre diritte, virtuali, rimpicciolite
  • concavi, la riflessione avviene sulla superficie interna della sfera e il centro di curvatura è dalla stessa parte dell’osservatore
    • introducono convergenza
    • immagini ingrandite
    • campo visivo ridotto
    • esempio: specchio per truccarsi
    • asse principale: normale alla superficie nel suo centro \(A\), passante per il centro di curvatura \(C\)
    • fuoco o punto focale: \(F\) in cui convergono i raggi paralleli all’asse principale
      • definito anche come punto immagine dell’infinito
    • distanza o lunghezza focale: distanza tra punto focale e centro dello specchio \(\text{FA}\)
      • \(f = \frac{r}{2}\)
    • per oggetti più lontani del fuoco tutti i punti vengono riflessi e si forma un immagine reale e invertita
    • per oggetti più vicini del fuoco lo specchio non vince la divergenza dei raggi e quindi questi rimangono divergenti e si crea un immagine virtuale
      • i raggi si incontrano virtualmente dietro allo specchio
      • un osservatore vede un immagine virtuale ma indistinguibile da un oggetto

Rifrazione

La velocità della luce dipende dal mezzo in cui si propaga. \[ c = 2.99792458 \text{ m/s} = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}\] \[v \simeq c\]

Indice di rifrazione: \[n = \frac{c}{v}\]

• \(c\) dipende dalla lunghezza d’onda \(\lambda\)

• Legge di Smell

  La parte del raggio di luce che viene trasmessa nel passaggio attraverso due mezzi con indice di rifrazione diverso viene deviato, la parte restante viene riflessa.

  \[n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\]

  • quando si entra in un mezzo più lento ci si avvicina alla normale
  • per l’invertibilità del cammino ottico entrando in un mezzo più veloci ci si allontana dalla normale

  Si ha riflessione totale passando a mezzi ad indice di rifrazione minore per angoli maggiori dell’angolo limite \(\theta_c\).

  • questo perchè il raggio rifratto si allontana dalla normale, oltre un angolo di rifrazione di \(90^{\circ}\) (sulla superficie del mezzo) tutta la luce viene riflessa

  \[\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1} \sin 90^{\circ} = \frac{n_2}{n_1}\]

  • applicazioni:
    • binocolo
    • fibra ottica (guida di luce)
    • endoscopio

• Lenti

  • 2 diottri

    • con caratteristiche diverse

  • attenzione che ai due lati ci siano 2 mezzi uguali con lo stesso indice di rifrazione

    • esempi che non lo hanno sono maschera da sub, lente a contatto

  • lenti convergenti

    • più spesse in centro

  • lenti divergenti

    • più sottili in centro

  • doppio-convesse e doppio-concave

  • piano-convesse e piano-concave

  • menisco-convesse e menisco-concave

  • consideriamo un caso particolare

    • lenti sottili
      • spessore trascurabile rispetto alla sezione trasversa
    • ottica Gauss e parassiale
      • angoli piccoli e lavoriamo vicino all’asse
    • stesso mezzo davanti e dietro
    • sotto queste ipotesi il sistema è stigmatico
      • la caustica è un punto e quindi trascurabile seconda la definizione del mezzo che definiamo

  Avviene una doppia rifrazione sui raggi incidenti

  • prima rispetto alla normale del piano di curvatura di incisione
  • seconda rispetto alla normale del piano di curvatura di uscita

  Una lente convergente

  • un flusso di raggi paralleli, distanza infinita
  • convergenza in un singolo punto, il fuoco
  • si crea un’immagine reale in quanto indistinguibile da un punto oggetto
    • da dove divergono i raggi

  Una lente divergente

  • un flusso di raggi paralleli, distanza infinita
  • divergenza dei raggi
  • intersezione sul fuoco posto di fronte alla lente, immagine virtuale
    • non può essere osservata su uno schermo ma solo con uno strumento ottico

  In entrambi i casi stesse distanze focali da entrambi i lati, si può ribaltare la lente

  • conseguenza di essere immersi nello stesso mezzo
  • il piano focale è l’insieme dei punti immagine dei raggi provenienti dall’infinito

  Si definiscono i due fuochi come fuoco oggetto uno e fuoco immagine l’altro.

  La potenza della lente \(P\) è il reciproco della distanza focale ed è misurata in diottrie (\(\text{D}\)). \[P = \frac{1}{f}\]

  Vale sempre la stessa formula degli specchi: \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_i} + \frac{1}{d_o}\]

  • equazione dei punti coniugati

  \[m = \frac{h_i}{h_o} = - \frac{d_i}{d_o}\]

  In quanto ogni immagine non è distinguibile da un oggetto si possono creare sistemi di lenti sottili regolati dalle stesse leggi.

  • Equazione del costruttore di lenti

    3 condizioni:

    • ottica Gauss parassiale
    • stesso mezzo dai due lati
    • lenti sottili

    \[P = \frac{1}{f} = (n-1) \bigg(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\bigg)\]

Ottica Ondulatoria

• luce interpretata come onda elettromagnetica
  • quindi perturbazione del campo elettrico e magnetico nello spazio
  • non necessita un mezzo per propagarsi

Principio di Huygens

• cambio di mezzo significa cambio di velocità
• il fronte d’onda si piega verso la normale

Passando dal mezzo 1 (vuoto o aria) a mezzo 2 con \(n\) qualsiasi si ricava: \[\lambda_n = \frac{\lambda}{n}\] La frequenza rimane invariata \[f_n = \frac{v_n}{\lambda_n} = \frac{c}{n}\frac{n}{\lambda}= \frac{c}{\lambda}= f\]

• questo si dimostra con le condizioni al contorno

Miraggio

• il cambio di temperatura dell’aria modifica la velocità di propagazione del fronte d’onda
• strati d’aria ad indice di rifrazione differente
• strati vicini all’asfalto sono a temperature maggiore, densità minore
• il raggio sembra provenire dal basso in quanto il raggio curva verso l’alto

Il fenomeno della fata morgana è simile ma a condizioni ribaltate

• temperatura dell’aria molto più elevata della corrente sullo stetto

Diffrazione di Young

• dimostra che la luce sia un’onda
• schermo dietro ad una lastra con due fenditure
  • 2 fenditure puntiformi
    • due raggi coerenti e in fase
  • distanza dello schermo molto maggiore della distanza tra le fenditure
• una sola sorgente (sole)
  • fonte monocromatica
  • fonte molto distante
• si osservano una serie di righe luminose dette frange di interferenza
  • se la luce non fosse un’onda si osserverebbero solo due bande
• Young interpretò il fenomeno come effetto di interferenza ondulatoria
• 3 casi di cammino
  • la differenza di cammino dei due raggi causa il tipo di interferenza
    • differenza di cammino multiplo pari della lunghezza d’onda: costruttiva
    • differenza di cammino multiplo dispari della lunghezza d’onda: distruttiva
• tutte le bande hanno la stessa intensità
  • diminuisce leggermente per la maggior distanza dello schermo dalle sorgenti

La differenza di cammino è (in quanto si forma un triangolo rettangolo approssimando per l’ipotesi della distanza dello schermo) \[d \sin \theta = m \lambda\] Per cui si ha interferenza costruttiva \[d \sin \theta = \bigg(m+\frac{1}{2}\bigg) \lambda\] Dove \(m\in (0,1,2,\dots)\)

Per la luce bianca la banda centrale sarà bianca, e man mano le frequenze si dividono allontanandosi dal centro

• questo perchè \(\theta\) dipende da \(\lambda\)
• questo ha permesso di misurare la lunghezza d’onda dei colori

Diffusione

• raggi solari assorbiti da molecole di \(N_2\) e \(O_2\) costituenti dell’atmosfera
• oscillano e emettono luce in ogni direzione non solo in quella del raggio incidente
• la diffusione dipende da \(\lambda\) come \(\frac{1}{\lambda^4}\)
  • luce rossa e arancione diffusi molto meno della luce blu e violetta
  • di giorno quindi il cielo è azzurro in quanto vediamo la luce diffusa nell’atmosfera
  • al tramonto la luce ha attraversato uno strato di atmosfera molto più spesso e la luce azzurra è ormai completamente diffusa, rimane la componente residua a lunghezza d’onda maggiore, rosso e arancione
• questa dipendenza è valida solo per ostacoli molto minori della lunghezza d’onda
  • le nuvole invece contengono gocce d’acqua o cristalli di ghiaccio
    • la diffusione è quindi uniforme per tutte le frequenze e le nuvole appaiono bianche

Diffrazione da sorgente puntiforme su disco

• disco solido posto di fronte a una fonte luminosa
• spot luminoso da interferenza costruttiva al centro del disco
  • data dai raggi provenienti dai bordi del disco

Diffrazione da sorgente puntiforme su fenditura estesa

• intensità massima al centro
• intensità dell’interferenza costruttiva via via affievolisce con l’aumentare dell’angolo

Il primo minimo: \[\sin \theta = \frac{\lambda}{D}\] Minimi laterali: \[D \sin \theta = m \lambda\] Dove \(m \in (1,2,\dots)\)

Reticolo di Diffrazione

• una serie di molte fenditure equidistanti e parallele si dicono reticolo di diffrazione
• si hanno dei massimi principali e massimi secondari
• interferenza costruttiva di tutti i raggi o solo di parte

\[\sin \theta = \frac{m\lambda}{D}\] Dove \(m \in (0,1,2,\dots)\)

Riflessione di luce sull’interfaccia tra mezzi

• luce incidente su una superficie di separazione (indice di rifrazione differenti) viene in parte trasmessa (rifrazione) e in parte riflessa
• la riflessione
  • è in fase se l’interfaccia ha indice di rifrazione minore
  • in opposizione di fase se l’interfaccia ha indice di rifrazione maggiore

Interferenza su lamine sottili

• interferenza della luce riflessa sulle due superfici di una lamina sottile produce frange di interferenza

• Anelli di Newton

  Se si illumina con luce monocramatica una superficie di vetro incurvata a contatto con una lastra di vetro piana si forma una figura di interferenza costituita da anelli concentrici alternativamente chiari e scuri, gli anelli di Newton.

• Rivestimento anti-riflettente

  • si progetta per eliminare certe lunghezze d’onda attraverso la creazione di interferenze distruttive
  • andata e ritorno eguagliano un multiplo dispari di \(\lambda/2\)

Macchina Fotografica

• tempo di scatto (otturatore)
• apertura
  • in step \(f\) del rapporto di apertura
  • \(\frac{f}{D}\)
  • ogni step corrisponde a una riduzione del diametro di un fattore \(\sqrt{2}\)
    • dimezzamento dell’energia luminosa sulla pellicola
• messa a fuoco
  • un oggetto lontano fuori fuoco forma cerchi sulla pellicola detti cerchi di confusione
• profondità di campo
  • intervallo di distanze per cui pur generando cerchi di confusione gli oggetti generano immagini sufficentemente nette
  • minore apertura minore è l’angolo che i raggi formano con l’asse pricipale e quindi il diametro dei cerchi di confusione
• mirino
  • specchio a 45 gradi ritratto quando l’otturatore è aperto
• tipi di obiettivi
  • normale (50mm circa)
  • teleobiettivi
    • ingrandimento pari a \(m = -d_i/d_o\)
  • grandangoli
    • minore di 50mm
    • immagini rimpicciolite ma campo visivo maggiore

Occhio Umano

• iride
  • colorata
  • regola la quantità di luce che entra nell’occhio
• pupilla
  • nera perchè il foro d’ingresso
• retina
  • terminazioni nervose e ricettore
    • bastoncelli e coni, corrispondenti a pixel
  • converte raggi luminosi in segnali nervosi che invia tramite nervo ottico
  • la scansione delle terminazioni nervose avviene continuamento con una frequenza di 30 letture al secondo
  • si ripiega nel nervo ottico: questo è l’unico punto cieco dell’sistema
• fovea
  • punto posto nell’asse ottico e con la massima risoluzione
• cornea
  • rivestimento protettivo esterno
  • lente principale
  • indice di rifrazione \(1.376\), stesso delle lacrime per evitare aberrazioni ottiche
• cristalllino
  • funzione di regolazione fine per oggetti più o meno distanti
  • subisce contrazioni pilotate dai muscoli ciliari per variare la focale
  • focalizzazione all’infinito i muscoli sono rilasciati, cristallino sottile
  • focalizzazione di oggetti finiti i muscoli si contraggono, cristallino si inspessisce
    • processo chiamato accomodamento
  • punto prossimo, minima distanza di messa a fuoco
  • punto remoto, massima distanza da messa a fuoco

Difetti visivi:

• miopia
  • punto remono non è l’infinito ma una certa distanza finita
  • occhio troppo lungo o cornea con curvatura troppo accentuata
  • si corregge frapponendo una lente divergente
• ipermetropia
  • punto prossimo superiore al normale
  • bulbo corto o cornea con curvatura non sufficiente
  • si corregge con una lente convergente
• astigmatismo
  • imperfetta curvatura del cristallino
  • causata da cilindricità della cornea
  • i raggi non si incontrano
  • non produce punti ma linee
  • si corregge con una lente cilindrica a sua volta

Nella realtà le aberrazioni sferiche sono più forti del dovuto in quanto non siam in ottica parassiale.

• le aberrazione hanno significato solo in relazione alla risoluzione dello strumento che le rileva
• coma e astigmatismo extra-assiale
  • i raggi passanti per parti diverse della lente provocano un allargamento non circolare, punti prendono forma di comete
• curvatura di campo
  • punti immagini di oggetti fuori asse e equidistanti non appartengono a un piano
  • problema più sensibile per apparecchi a pellicola
    • la curvatura dell’occhio richie a compensare l’effetto
• distorsione
  • ingrandimenti diversi a diverse distanze dall’asse focale
  • linea retta curvata
  • effetto a barilotto o cuscino
  • distorsione che compare per lenti a grande angolo visuale
  • il cervello è in grado di correggerla
• aberrazioni cromatiche
  • cerchi di confusione diversi per lunghezze d’onda diverse
  • gli oggetti prendono frange colorate
  • si risolve accoppiando lenti con indici di rifrazioni diversi
• nell’occhio
  • aberrazione sferica estremamente ridotta
    • la cornea è meno incurvata all’estremità che al centro
    • cristallino meno denso all’estremità che al centro
  • astigmatismo extra-assiale
    • non è un problema perchè gli oggetti vengono rilevati chiaramente solo nella fovea che appartiene all’asse del sistema ottico oculare
  • aberrazione cromatica
    • parzialmente compensanta perchè il cristallino assorbe sensibilmente le lunghezze d’onda più corte
    • la retina è meno sensibile al blu e violetto
• negli specchi
  • aberrazione sferica presente in tutti gli specchi sferici
  • aberrazione cromatica assente perchè la luce viene solo riflessa e non rifratta
    • quindi ogni conseguenza della dispersione è assente

Lente di ingrandimento

• oggetto posto tra fuoco e lente
  • genera immagine virtuale oltre il punto prossimo
• oggetto pusto sul fuoco
  • genere immagine virtuale all’infinito
  • non affatica l’occhio

Telescopio astronomico rifrattore

Anche detto kepleriano.

• obiettivo, lente di ingresso
  • prima immagine reale sul piano focale per oggetti all’infinito o prossimi
  • immagine capovolta e rimpicciolita
• oculare, lente di ingrandimento
  • seconda immagine virtuale
  • immagine capovolta e ingrandita
  • per osservare con occhio rilassato l’oculare è regolato per produrre l’immagine all’infinito

\[M = \frac{\theta'}{\theta} = -\frac{f_o}{f_e}\]

Telescopio astronomico riflettore

• utilizza specchi al posto di lenti
• maggiore luminosità
  • non c’è limite in quanto facile da molare e facilmente sorreggibile
• aberrazione sferica correggibile con specchi parabolici
• aberrazioni cromatiche assenti in quanto la luce non attraversa lo specchio

Telescopio terrestre

Detto cannocchiale.

• Schyrle-Faunhofer
  • aggiunge una terza lente che raddrizza l’immagine
  • molto lunghi
• galileiano
  • oculare composto da una lente divergente
  • molto compatto

Microscopio composto

• il sistema è composto da due lenti convergenti come il telescopio
• gli oggetti sono posti molto vicini al punto focale dell’obiettivo
• non c’è tolleranza sulla posizione dell’oggetto
  • un piccolo cambio di distanza varia di molto l’immagine ingrandita dall’oculare

\[M \simeq - \frac{Nl}{f_e f_o}\]

Limiti di risoluzione

• anche in assenza di aberrazione la risoluzione degli strumenti ottici è limitata dalla diffrazione
• limite intrinseca dato dalla natura ondulatoria della luce
• un qualsiasi tubo è una fenditura
• criterio di Rayleigh
  • due immagini sono distringuibili (risolvibili) quando il centro di diffrazione di una corrisponde con il primo minimo della figura di diffrazione dell’altra

\[\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}\]

• distanza angolare per cui c’è risolvibilità

Potere risolutivo: \[PR = s = f\theta = \frac{1.22 \lambda f }{D}\]

Meccanica dei Fluidi

Idrostatica

• stati della materia
  • solido, liquido, gas, plasma
  • le differenze tra gli stati
    • libero cammino medio
      • in un solido si forma un reticolo cristallino
    • compressibilità esercitando una pressione \(\Delta P\)
      • su un solido il volume non cambia
      • in un fluido cambia
        • piccolo delta in un liquido, grande in un gas

Grandezze:

• densità: \(\rho = \frac{m}{V} \bigg[ \frac{kg}{m^3}\bigg]\)
• peso specifico: \(\sigma = \frac{mg}{V} = \rho g \bigg[\frac{kg}{m^2 s^2}\bigg],\bigg[ \frac{N}{m^3} \bigg]\)
• pressione: \(P = \frac{F_N}{S} \bigg[ \frac{N}{m^2} \bigg] , [Pa]\)

Leggi di Stevino

• equilibrio idrostatico
  • lungo l’asse y la risultate delle forze è nulla

\[P = P_0 + \rho g h\]

• la pressione dipende esclusivamente dalla profondità ed è uguale in tutte le direzioni

Barometro di Torricelli

• termometro a mercurio
• cilindro di vetro riempito di \(Hg\) capovolto in un recipiente pieno dello stesso fluido
  • senza aria nella parte allo sommità del cilindro
• trasforma una misura di altezza in una misura di pressione

\[P_{atm} = \rho_{Hg} g h\]

Legge di Pascal

• ogni variazione della pressione esterna \(P_0\) da luogo ad un’uguale variazione di \(P\) distribuita in modo uniforme su tutto il liquido

Vasi Comunicanti

• un liquido omogeneo si dispone all’equilibrio in vasi comunicanti in modo da avere lo stesso livello rispetto al suolo
  • le superfici libere sono equipotenziali

Pressa Idraulica

• liquido denso trasmette per la legge di Pascal la medesima pressione ai due pistoni moltiplicando la forza esercitata del rapporto delle aree

\[\frac{F_1}{F_2} = \frac{A_1}{A_2}\]

Legge di Archimede

• declina in un alto modo l’equilibrio idrostatico
• un corpo immerso in un fluido riceve una spinta di galleggiamento pari al peso del volume di liquido spostato

\[ B = \rho V g\]

• \(p_f = p_o \to \sum F = 0\)
• \(p_f > p_o \to \sum F > 0\), forza verso l’alto
• \(p_f < p_o \to \sum F < 0\), forza verso il basso

\[\frac{\rho_o}{\rho_f} = \frac{V_f}{V_o}\]

Idrodinamica

• fluido ideale
  • incomprimibile , \(\rho\) costante
  • non viscoso, senza atrito
• moto stazionario
  • per ciascuna sezione del condotto il moto fluido avviene a velocità costante (modulo direzione verso) in ogni punto della sezione del condotto
  • sezioni alla stessa quota sono caratterizate dalla stessa velocità
  • sezioni a quote differente sono caratterizzate da velocità differenti
• flusso laminare
  • gli stati di fluido scivolano l’uno sull’altro
  • ciascuna particella segue un percorso regolare e non ne interseca altri
    • velocità costante in ogni punto della sezione
• flusso turbolento
  • flusso irregolare con percorsi circolari

Principio di continiutà e portata

La massa \(m\) che attraverso in un intervallo \(\Delta t\) una sezione \(A_i\) del condotto è la stessa che attraversa nello stesso intervallo una qualunque altra sezione del condotto: \[\rho_i A_i \Delta x_i = \text{cost}\]

Portata volumica e in massa: \[Q_V = \frac{\Delta V }{\Delta t}\] \[Q_M = \frac{\Delta m }{\Delta t}\]

Legge di conservazione della portata in un fluido ideale, essendo \(\rho\) costante: \[Q_V = Sv = \text{cost}\]

Teorema di Bernoulli

• conservazione dell’energia
• applicazione del teorema delle forze vive applicao su un fluido ideale in moto stazionario in un condotto
  • il lavoro totale da cui si dimostra deve essere totale
  • quindi in presenza di attrito c’è dispersione di energia e quindi smette di valere

\[P + \frac{1}{2} \rho g v^2 + \rho g y = \text{cost}\]

Portanza

• la sagoma delle ali devia il flusso d’aria maggiormente nella parte superiore
• la velocità del flusso è maggiore sopra
• per il teorema di bernoulli, con differenza di quota trascurabile
  • pressione sopra minore della pressione sotto
• forza risultante verso l’alto
  • dipendenza \(v^2\)

Liquidi reali

• viscosità, le superfici interne del fluido non scorrono più liberamente ma si ha attrito interno

Per fluidi newtoniani: \[F = \eta \frac{\Delta v }{\Delta x}\Delta S}\]

• coefficiente di attrito viscoso \(\eta\) misurata in Poise \([Pa s]\)
• $Δ v $ differenza di velocità tra i due strati
• \(\Delta x\) distanza tra gli strati
• \(\Delta S\) superficie degli strati

In un fluido reale esiste perdita di carico dovuta alla dissipazione di energia per attrito interno. A causa dell’attrito viscoso tra strati adiacenti di fluido il regime laminare non è più caratterizzato da una velocità costante su tutta la sezione del flusso, ma il fluido a contatto con le pareti è fermo, mentre il fluido al centro del flusso si muove con massima velocità. Il regime laminare è ancora caratterizzato da strati che strisciano l’uno sull’altro con velocità parallele.